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北海道大学 1963年理系第6問解説

方針・初手

曲線①の式を展開し、直線②の式と連立して共有点の $x$ 座標を求める方程式を立てる。定数項が相殺されて $x$ でくくれるため、3次方程式の実数解の条件を2次方程式の判別式に帰着させることができる。「接する」条件は、連立した3次方程式が重解をもつことと同値であることを利用し、$a$ の値を2通り見つける。 $a$ の値が定まったら、それぞれの場合についてグラフの上下関係を調べ、定積分を用いて面積を計算する。

解法1

(1) 曲線①の方程式を展開して整理する。

$$ y = x^3 - 3 \cdot \frac{a}{\sqrt{3}}x^2 + 3 \cdot \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 x - \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^3 + \frac{a^3}{3\sqrt{3}} $$

$$ y = x^3 - \sqrt{3}ax^2 + a^2x $$

①と②の共有点の $x$ 座標は、次の方程式の実数解である。

$$ x^3 - \sqrt{3}ax^2 + a^2x = x $$

$$ x^3 - \sqrt{3}ax^2 + (a^2 - 1)x = 0 $$

$$ x \{ x^2 - \sqrt{3}ax + (a^2 - 1) \} = 0 $$

この方程式は $x=0$ を必ず解にもつため、①と②は常に原点を共有する。 ①と②が原点のほかに共有点をもつための条件は、2次方程式

$$ x^2 - \sqrt{3}ax + (a^2 - 1) = 0 \cdots\cdots ③ $$

が実数解をもつことである。（③が $x=0$ を解にもつとき $a^2 - 1 = 0$ より $a=1$ となるが、このとき③のもう1つの解は $x=\sqrt{3} \neq 0$ となるため、原点以外の共有点をもつという条件を満たす） ③の判別式を $D$ とすると、$D \geqq 0$ となればよい。

$$ D = (-\sqrt{3}a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 1) \geqq 0 $$

$$ 3a^2 - 4a^2 + 4 \geqq 0 $$

$$ a^2 - 4 \leqq 0 $$

$$ (a + 2)(a - 2) \leqq 0 $$

$$ -2 \leqq a \leqq 2 $$

問題の条件 $a \geqq 0$ より、求める $a$ の範囲は

$$ 0 \leqq a \leqq 2 $$

(2) ①と②が接するとき、①と②の式を連立した3次方程式 $x \{ x^2 - \sqrt{3}ax + (a^2 - 1) \} = 0$ が重解をもつ。これには次の2つの場合がある。

(i) ③が $x=0$ を解にもつ場合 ③に $x=0$ を代入すると

$$ a^2 - 1 = 0 $$

$a \geqq 0$ より $a=1$ である。このとき、③は $x^2 - \sqrt{3}x = 0$ すなわち $x(x - \sqrt{3}) = 0$ となるため、全体の方程式は $x^2(x - \sqrt{3}) = 0$ となる。これは $x=0$ を重解にもつため、条件を満たす。

(ii) ③が重解をもつ場合 ③の判別式 $D = 0$ となる。 (1)より $4 - a^2 = 0$ であり、$a \geqq 0$ より $a=2$ である。このとき、③は $x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 = 0$ すなわち $(x - \sqrt{3})^2 = 0$ となるため、全体の方程式は $x(x - \sqrt{3})^2 = 0$ となる。これは $x=\sqrt{3}$ を重解にもつため、条件を満たす。

以上より、$a = 1, 2$ である。次に、それぞれの場合について囲まれる部分の面積 $S$ を求める。

(ア) $a=1$ のとき共有点の $x$ 座標は $x = 0, \sqrt{3}$ である。 $0 \leqq x \leqq \sqrt{3}$ において、(①の式) - (②の式) は

$$ x^3 - \sqrt{3}x^2 = x^2(x - \sqrt{3}) \leqq 0 $$

となるため、区間 $0 \leqq x \leqq \sqrt{3}$ で直線②が曲線①の上側にある。よって、面積 $S$ は

$$ S = \int_{0}^{\sqrt{3}} \{ x - (x^3 - \sqrt{3}x^2 + x) \} dx $$

$$ S = \int_{0}^{\sqrt{3}} (-x^3 + \sqrt{3}x^2) dx $$

$$ S = \left[ -\frac{1}{4}x^4 + \frac{\sqrt{3}}{3}x^3 \right]_{0}^{\sqrt{3}} $$

$$ S = -\frac{1}{4}(\sqrt{3})^4 + \frac{\sqrt{3}}{3}(\sqrt{3})^3 $$

$$ S = -\frac{9}{4} + 3 = \frac{3}{4} $$

(イ) $a=2$ のとき共有点の $x$ 座標は $x = 0, \sqrt{3}$ である。 $0 \leqq x \leqq \sqrt{3}$ において、(①の式) - (②の式) は

$$ x^3 - 2\sqrt{3}x^2 + 3x = x(x^2 - 2\sqrt{3}x + 3) = x(x - \sqrt{3})^2 \geqq 0 $$

となるため、区間 $0 \leqq x \leqq \sqrt{3}$ で曲線①が直線②の上側にある。よって、面積 $S$ は

$$ S = \int_{0}^{\sqrt{3}} \{ (x^3 - 2\sqrt{3}x^2 + 4x) - x \} dx $$

$$ S = \int_{0}^{\sqrt{3}} (x^3 - 2\sqrt{3}x^2 + 3x) dx $$

$$ S = \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{2\sqrt{3}}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 \right]_{0}^{\sqrt{3}} $$

$$ S = \frac{1}{4}(\sqrt{3})^4 - \frac{2\sqrt{3}}{3}(\sqrt{3})^3 + \frac{3}{2}(\sqrt{3})^2 $$

$$ S = \frac{9}{4} - 6 + \frac{9}{2} = \frac{3}{4} $$

解説

3次関数と直線の共有点および面積に関する典型的な問題である。 (1)では、与えられた曲線の式を展開して整理することが第一歩となる。定数項が消えて $x$ でくくれる形になるため、3次方程式の解の判別を2次方程式に帰着できる。 (2)の「接する」条件は、連立した方程式が重解をもつことと言い換えられる。因数分解された形 $x \cdot (\text{2次式}) = 0$ において、2次式部分が重解をもつ場合だけでなく、2次式が $x=0$ を解にもつ（すなわち $x^2$ を因数にもつ）場合も忘れずに検討する必要がある。面積計算においては、グラフの上下関係を正確に把握するために、差の関数が区間内で正か負かを確かめるプロセスが重要である。どちらの場合も、被積分関数が因数分解された形から符号を容易に判定できる。