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北海道大学 1963年理系第5問解説

方針・初手

角 $\angle PAB = \theta$ とおき、垂線を下ろす操作によって作られる各線分の長さを $\theta$ と $l$ を用いて表す。図形の相似性から、求める線分の長さの列が等比数列になることを見抜き、無限等比級数の和を計算する。

解法1

問題の操作は点 $P$ から垂線を下ろすことができる位置にあることを前提としているため、$P$ は半円弧の端点 $A, B$ とは一致しないとしてよい。 $\angle PAB = \theta$ $\left(0^\circ < \theta < 90^\circ\right)$ とおく。線分 $AB$ は半円の直径であるから、$\angle APB = 90^\circ$ であり、$\angle PBA = 90^\circ - \theta$ である。直角三角形 $APB$ において、$AB=l$ より、

$$ AP = l \cos \theta, \quad BP = l \sin \theta $$

直角三角形 $APD$ において、

$$ PD = AP \sin \theta = l \sin \theta \cos \theta $$

(1)

点 $P, D$ をそれぞれ $P_0, E_0$ と定める。非負整数 $n=0, 1, 2, \cdots$ に対して、線分 $P_n E_n$ の長さを考える。問題の操作から、点 $P_n$ は半直線 $AP$ 上にあり、点 $E_n$ は線分 $AB$ 上にある。直角三角形 $A P_n E_n$ において $\angle E_n A P_n = \theta$ であるから、

$$ AE_n = \frac{P_n E_n}{\tan \theta} $$

直角三角形 $A P_{n+1} E_n$ において $\angle P_{n+1} A E_n = \theta$ であり、$\angle A P_{n+1} E_n = 90^\circ$ であるから、

$$ A P_{n+1} = A E_n \cos \theta = P_n E_n \frac{\cos \theta}{\tan \theta} $$

直角三角形 $A P_{n+1} E_{n+1}$ において $\angle P_{n+1} A E_{n+1} = \theta$ であり、$\angle A E_{n+1} P_{n+1} = 90^\circ$ であるから、

$$ P_{n+1} E_{n+1} = A P_{n+1} \sin \theta = P_n E_n \frac{\cos \theta \sin \theta}{\tan \theta} = P_n E_n \cos^2 \theta $$

これより、数列 $\{P_n E_n\}$ は初項 $P_0 E_0 = PD$、公比 $\cos^2 \theta$ の等比数列である。 $0^\circ < \theta < 90^\circ$ より $0 < \cos^2 \theta < 1$ であるため、無限等比級数 $X$ は収束し、その和は、

$$ X = \sum_{n=0}^{\infty} P_n E_n = \frac{PD}{1 - \cos^2 \theta} = \frac{PD}{\sin^2 \theta} $$

となる。

同様に、点 $P, D$ をそれぞれ $Q_0, F_0$ と定め、線分 $Q_n F_n$ の長さを考える。直角三角形 $B Q_n F_n$ において $\angle F_n B Q_n = 90^\circ - \theta$ であるから、

$$ B F_n = \frac{Q_n F_n}{\tan (90^\circ - \theta)} = Q_n F_n \tan \theta $$

直角三角形 $B Q_{n+1} F_n$ において、$\angle F_n B Q_{n+1} = 90^\circ - \theta$ であり、$\angle B Q_{n+1} F_n = 90^\circ$ であるから、

$$ B Q_{n+1} = B F_n \cos (90^\circ - \theta) = B F_n \sin \theta = Q_n F_n \tan \theta \sin \theta $$

直角三角形 $B Q_{n+1} F_{n+1}$ において、$\angle F_{n+1} B Q_{n+1} = 90^\circ - \theta$ であり、$\angle B F_{n+1} Q_{n+1} = 90^\circ$ であるから、

$$ Q_{n+1} F_{n+1} = B Q_{n+1} \sin (90^\circ - \theta) = B Q_{n+1} \cos \theta = Q_n F_n \tan \theta \sin \theta \cos \theta = Q_n F_n \sin^2 \theta $$

これより、数列 $\{Q_n F_n\}$ は初項 $Q_0 F_0 = PD$、公比 $\sin^2 \theta$ の等比数列である。 $0 < \sin^2 \theta < 1$ であるため、無限等比級数 $Y$ も収束し、その和は、

$$ Y = \sum_{n=0}^{\infty} Q_n F_n = \frac{PD}{1 - \sin^2 \theta} = \frac{PD}{\cos^2 \theta} $$

となる。

ここで、$PD = l \sin \theta \cos \theta$ をそれぞれの式に代入すると、

$$ X = \frac{l \sin \theta \cos \theta}{\sin^2 \theta} = \frac{l \cos \theta}{\sin \theta} $$

$$ Y = \frac{l \sin \theta \cos \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{l \sin \theta}{\cos \theta} $$

が得られる。よって、これらの積を求めると、

$$ X \cdot Y = \frac{l \cos \theta}{\sin \theta} \cdot \frac{l \sin \theta}{\cos \theta} = l^2 $$

(2)

$0^\circ < \theta < 90^\circ$ においては $X > 0, Y > 0$ である。相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$ X + Y \geqq 2\sqrt{X \cdot Y} = 2\sqrt{l^2} = 2l $$

等号が成立するのは $X = Y$ のときである。(1) の結果より、

$$ \frac{l \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{l \sin \theta}{\cos \theta} $$

これを解くと $\tan^2 \theta = 1$ となり、$0^\circ < \theta < 90^\circ$ より $\tan \theta = 1$、すなわち $\theta = 45^\circ$ を得る。このとき、点 $P$ は半円弧 $AB$ の中点の位置に存在し得る。したがって、$X+Y$ の最小値は $2l$ である。

解説

無限に続く図形の操作から、各線分の長さが等比数列をなすことを見抜く問題である。$\angle PAB = \theta$ などの1つの角を変数とおくことで、すべての線分の長さを一元的に表現でき、各操作ごとの相似比も明確になる。級数の和を求める際に $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ の関係式を用いると計算が劇的に簡単になる。また、(2) で最小値を求める際も、(1) で求めた積が定数になることを生かして、相加・相乗平均の大小関係を用いるのが自然な発想である。等号成立条件（点 $P$ が弧の中点にあること）の確認を怠らないようにしたい。