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北海道大学 1968年理系第6問解説

方針・初手

(1) は与えられた $t$ を $x$ で微分して $\frac{dt}{dx}$ を求め、それを $t$ の式で表してから逆関数の微分法 $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{\frac{dt}{dx}}$ を用いる方針が自然である。その際、$\sin x$ から $\cos x$ に変換する部分で、与えられた $x$ の変域から $\cos x$ の符号を正しく判定することがポイントとなる。

(2) は (1) の結果をそのまま用いて置換積分を実行する。被積分関数の分母 $(1+\sin x)^2$ は $\frac{1}{t^2}$ であり、これと $dx = \frac{dx}{dt} dt$ を組み合わせて $t$ の積分に直す。現れた無理関数の積分は、分子の次数を下げて計算しやすい形に変形する。

解法1

(1)

$t = \frac{1}{1+\sin x}$ を $x$ について微分する。

$$ \frac{dt}{dx} = - \frac{\cos x}{(1+\sin x)^2} $$

$t = \frac{1}{1+\sin x}$ より $1+\sin x = \frac{1}{t}$ であるから、

$$ \sin x = \frac{1-t}{t} $$

また、$\frac{5\pi}{6} \leqq x \leqq \pi$ において $\cos x \leqq 0$ であるため、

$$ \begin{aligned} \cos x &= - \sqrt{1 - \sin^2 x} \\ &= - \sqrt{1 - \left( \frac{1-t}{t} \right)^2} \\ &= - \sqrt{\frac{t^2 - (1 - 2t + t^2)}{t^2}} \\ &= - \frac{\sqrt{2t-1}}{|t|} \end{aligned} $$

ここで、$0 \leqq \sin x \leqq \frac{1}{2}$ であるから $t = \frac{1}{1+\sin x} > 0$ であり、$|t| = t$ としてよい。

$$ \cos x = - \frac{\sqrt{2t-1}}{t} $$

これらを $\frac{dt}{dx}$ の式に代入する。

$$ \begin{aligned} \frac{dt}{dx} &= - \left( \frac{1}{t} \right)^{-2} \cdot \left( - \frac{\sqrt{2t-1}}{t} \right) \\ &= t^2 \cdot \frac{\sqrt{2t-1}}{t} \\ &= t \sqrt{2t-1} \end{aligned} $$

逆関数の微分法により、$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{\frac{dt}{dx}}$ であるから、

$$ \frac{dx}{dt} = \frac{1}{t \sqrt{2t-1}} $$

(2)

$x$ と $t$ の対応は以下のようになる。

$x = \frac{5\pi}{6}$ のとき、$\sin x = \frac{1}{2}$ より $t = \frac{1}{1+\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}$

$x = \pi$ のとき、$\sin x = 0$ より $t = 1$

また、(1) より $dx = \frac{1}{t \sqrt{2t-1}} dt$ であり、被積分関数の $\frac{1}{(1+\sin x)^2}$ は $t^2$ である。これを用いて与式の定積分を $t$ についての積分に置換する。

$$ \begin{aligned} \int_{\frac{5\pi}{6}}^{\pi} \frac{2}{(1+\sin x)^2} dx &= \int_{\frac{2}{3}}^{1} 2 t^2 \cdot \frac{1}{t \sqrt{2t-1}} dt \\ &= \int_{\frac{2}{3}}^{1} \frac{2t}{\sqrt{2t-1}} dt \end{aligned} $$

分子を分母の根号内の形に合わせて $2t = (2t-1) + 1$ と変形し、積分を計算する。

$$ \begin{aligned} \int_{\frac{2}{3}}^{1} \frac{2t}{\sqrt{2t-1}} dt &= \int_{\frac{2}{3}}^{1} \frac{(2t-1)+1}{\sqrt{2t-1}} dt \\ &= \int_{\frac{2}{3}}^{1} \left( \sqrt{2t-1} + \frac{1}{\sqrt{2t-1}} \right) dt \\ &= \left[ \frac{1}{3} (2t-1)^{\frac{3}{2}} + (2t-1)^{\frac{1}{2}} \right]_{\frac{2}{3}}^{1} \\ &= \left( \frac{1}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 1^{\frac{1}{2}} \right) - \left( \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3} \right)^{\frac{3}{2}} + \left( \frac{1}{3} \right)^{\frac{1}{2}} \right) \\ &= \frac{4}{3} - \left( \frac{1}{9\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) \\ &= \frac{4}{3} - \frac{10}{9\sqrt{3}} \\ &= \frac{4}{3} - \frac{10\sqrt{3}}{27} \end{aligned} $$

解説

(1) において $\cos x$ を $t$ で表す際、$x$ の定義域から $\cos x \leqq 0$ となることに注意し、負の符号を落とさないことが重要である。

(2) では、(1) で求めた $\frac{dx}{dt}$ をそのまま用いて置換積分を実行する。無理関数の積分 $\int \frac{2t}{\sqrt{2t-1}} dt$ においては、$u = 2t-1$ と置換するか、解法に示したように分子を $(2t-1)+1$ として展開することで、多項式の分数乗の積分に帰着させることができる。計算ミスを防ぎやすい変形を心がけたい。