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北海道大学 1968年理系第5問解説

方針・初手

曲線上の点 $(t, f(t))$ における接線の方程式を立て、それが原点 $(0,0)$ を通るという条件から $t$ についての方程式を導きます。接線が2本引けるということは、接点が2つ存在する、つまりこの方程式が異なる2つの実数解をもつということになります。変曲点については、第2次導関数 $y'' = 0$ となる $x$ の値を求め、その $x$ 座標が2つの接点の $x$ 座標の間にあるかどうかを調べます。

解法1

$f(x) = e^{-\frac{(x-a)^2}{2}}$ とおく。関数 $f(x)$ を微分すると、

$$ f'(x) = -(x-a)e^{-\frac{(x-a)^2}{2}} $$

さらに微分すると、

$$ \begin{aligned} f''(x) &= -e^{-\frac{(x-a)^2}{2}} + \{-(x-a)\}^2 e^{-\frac{(x-a)^2}{2}} \\ &= \{(x-a)^2 - 1\}e^{-\frac{(x-a)^2}{2}} \\ &= (x-a-1)(x-a+1)e^{-\frac{(x-a)^2}{2}} \end{aligned} $$

曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(t, f(t))$ における接線の方程式は、

$$ y - e^{-\frac{(t-a)^2}{2}} = -(t-a)e^{-\frac{(t-a)^2}{2}}(x - t) $$

この接線が原点 $(0,0)$ を通るとき、

$$ 0 - e^{-\frac{(t-a)^2}{2}} = -(t-a)e^{-\frac{(t-a)^2}{2}}(0 - t) $$

$$ -e^{-\frac{(t-a)^2}{2}} = t(t-a)e^{-\frac{(t-a)^2}{2}} $$

$e^{-\frac{(t-a)^2}{2}} > 0$ であるから、両辺をこれで割って整理すると、

$$ t^2 - at + 1 = 0 \cdots (A) $$

(1)

原点を通る接線が2本引けるための条件は、接点が2つ存在すること、すなわち $t$ についての2次方程式 $(A)$ が異なる2つの実数解をもつことである。方程式 $(A)$ の判別式を $D$ とすると、

$$ D = a^2 - 4 > 0 $$

これより、

$$ (a-2)(a+2) > 0 $$

$a > 0$ であるから、求める範囲は

$$ a > 2 $$

(2)

(1) のとき、方程式 $(A)$ の異なる2つの実数解を $\alpha, \beta \ (\alpha < \beta)$ とすると、これらが2接点の $x$ 座標である。 $g(t) = t^2 - at + 1$ とおくと、$\alpha < x < \beta$ を満たす実数 $x$ は、不等式 $g(x) < 0$ を満たす。

一方、曲線の変曲点の $x$ 座標は、$f''(x) = 0$ の解である。 $e^{-\frac{(x-a)^2}{2}} > 0$ であるから、$(x-a-1)(x-a+1) = 0$ より、

$$ x = a - 1, \ a + 1 $$

この前後で $f''(x)$ の符号は正から負、または負から正へと変化するため、これらはともに変曲点である。これらの $x$ 座標が $\alpha < x < \beta$ の範囲（すなわち $g(x) < 0$ の範囲）にあるかどうかを調べる。

$x = a - 1$ のとき、

$$ \begin{aligned} g(a - 1) &= (a - 1)^2 - a(a - 1) + 1 \\ &= a^2 - 2a + 1 - a^2 + a + 1 \\ &= -a + 2 \end{aligned} $$

$a > 2$ であるから、$-a + 2 < 0$ となり、$g(a - 1) < 0$ が成り立つ。したがって、$\alpha < a - 1 < \beta$ である。

$x = a + 1$ のとき、

$$ \begin{aligned} g(a + 1) &= (a + 1)^2 - a(a + 1) + 1 \\ &= a^2 + 2a + 1 - a^2 - a + 1 \\ &= a + 2 \end{aligned} $$

$a > 2$ であるから、$a + 2 > 0$ となり、$g(a + 1) > 0$ である。さらに、$g(t)$ のグラフの軸は $t = \frac{a}{2}$ であり、$a + 1 > \frac{a}{2}$ であるから、右側の解 $\beta$ よりも大きい位置にある。よって、$a + 1 > \beta$ である。

以上より、2接点の $x$ 座標 $\alpha, \beta$ の間に存在する変曲点の $x$ 座標は $a - 1$ のただ1つである。このとき、変曲点の $y$ 座標は、

$$ f(a - 1) = e^{-\frac{(a - 1 - a)^2}{2}} = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}} $$

したがって、題意は示された。

解説

(1) は接線を立式して原点を代入し、接点の座標についての2次方程式を導く定石通りの問題です。「接線の本数は接点（の $x$ 座標）の個数に一致する」という考え方が重要です。 (2) は解と係数の関係を用いて $\alpha, \beta$ を直接求めてから大小比較をすることも可能ですが、式が煩雑になります。2次関数 $g(t) = t^2 - at + 1$ のグラフ（下に凸の放物線）において、$t$ 軸より下側にある範囲が $\alpha < t < \beta$ であることを利用し、$g(a-1)$ および $g(a+1)$ の符号を調べる解法が最もスマートで計算ミスを防ぎやすいアプローチです。