北海道大学 1982年 理系 第2問 解説

方針・初手

• (1) は、行列 $A, B$ の成分を文字でおき、積 $AB$ の成分を直接計算して条件を満たすか確認する。あるいは、「行の和が等しい」という性質を、ある列ベクトルとの積の形に読み替えて証明する。
• (2) は、$A\vec{u} = k\vec{u}$ という式から、実数 $k$ が行列 $A$ の固有値、$\vec{u}$ が固有ベクトルであることを読み取る。固有多項式から固有値を求め、それぞれに対応する単位ベクトルを計算する。

解法1

(1) 行列 $A, B$ を次のように成分で表す。

$$ A = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix} $$

$A, B \in R$ であるから、以下の条件式が成り立つ。

$$ a_1 + b_1 = c_1 + d_1 $$

$$ a_2 + b_2 = c_2 + d_2 $$

このとき、積 $AB$ は次のように計算できる。

$$ AB = \begin{pmatrix} a_1 a_2 + b_1 c_2 & a_1 b_2 + b_1 d_2 \\ c_1 a_2 + d_1 c_2 & c_1 b_2 + d_1 d_2 \end{pmatrix} $$

$AB$ が集合 $R$ の要素であるためには、1行目の成分の和と2行目の成分の和が等しいことを示せばよい。 1行目の成分の和を考える。

$$ \begin{aligned} (a_1 a_2 + b_1 c_2) + (a_1 b_2 + b_1 d_2) &= a_1(a_2 + b_2) + b_1(c_2 + d_2) \\ &= a_1(a_2 + b_2) + b_1(a_2 + b_2) \\ &= (a_1 + b_1)(a_2 + b_2) \end{aligned} $$

同様に、2行目の成分の和を考える。

$$ \begin{aligned} (c_1 a_2 + d_1 c_2) + (c_1 b_2 + d_1 d_2) &= c_1(a_2 + b_2) + d_1(c_2 + d_2) \\ &= c_1(a_2 + b_2) + d_1(a_2 + b_2) \\ &= (c_1 + d_1)(a_2 + b_2) \end{aligned} $$

ここで、$a_1 + b_1 = c_1 + d_1$ であるから、これら2つの和は等しい。 よって、$AB \in R$ であることが示された。

(2) $A \in R$ より、$a+b = c+d$ が成り立つ。 これを $d$ について解くと、次のようになる。

$$ d = a + b - c $$

関係式 $A\vec{u} = k\vec{u}$ と $\vec{u} \neq \vec{0}$ より、$k$ は行列 $A$ の固有値である。 単位行列を $I$ として、固有多項式 $\det(A - kI) = 0$ を考える。

$$ \det(A - kI) = (a-k)(d-k) - bc = 0 $$

これに $d = a+b-c$ を代入して整理する。

$$ \begin{aligned} k^2 - (a+d)k + ad - bc &= 0 \\ k^2 - (2a+b-c)k + a(a+b-c) - bc &= 0 \\ k^2 - (2a+b-c)k + a^2 + ab - ac - bc &= 0 \\ k^2 - (2a+b-c)k + a(a+b) - c(a+b) &= 0 \\ k^2 - (2a+b-c)k + (a-c)(a+b) &= 0 \end{aligned} $$

左辺を因数分解する。

$$ \{k - (a+b)\}\{k - (a-c)\} = 0 $$

よって、固有値は $k = a+b$ および $k = a-c$ である。

(i) $k = a+b$ のとき

方程式 $(A - (a+b)I)\vec{u} = \vec{0}$ を解く。

$$ A - (a+b)I = \begin{pmatrix} a - (a+b) & b \\ c & d - (a+b) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -b & b \\ c & d - a - b \end{pmatrix} $$

$d = a+b-c$ より $d-a-b = -c$ であるから、次の方程式を得る。

$$ \begin{pmatrix} -b & b \\ c & -c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

これより、$-bx + by = 0$ かつ $cx - cy = 0$ となる。 条件「$b \neq 0$ または $c \neq 0$」より、いずれの式からも $x = y$ が導かれる。 $\vec{u}$ は単位ベクトルであり $x^2 + y^2 = 1$ を満たすので、$2x^2 = 1$ より $x = y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる。

$$ \vec{u} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

(ii) $k = a-c$ のとき

方程式 $(A - (a-c)I)\vec{u} = \vec{0}$ を解く。

$$ A - (a-c)I = \begin{pmatrix} a - (a-c) & b \\ c & d - (a-c) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c & b \\ c & d - a + c \end{pmatrix} $$

$d = a+b-c$ より $d-a+c = b$ であるから、次の方程式を得る。

$$ \begin{pmatrix} c & b \\ c & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

これより、$cx + by = 0$ となる。 条件「$b \neq 0$ または $c \neq 0$」より、これは自明ではない直線の方程式を表す。 これに直交する方向ベクトルとして、成分を入れ替えて符号を反転させたものをとり、大きさを $1$ に調整する。

$$ \vec{u} = \pm \frac{1}{\sqrt{b^2 + c^2}} \begin{pmatrix} b \\ -c \end{pmatrix} $$

なお、$k$ が重解となる $a+b = a-c$ (すなわち $b=-c$) のときも、(i) と (ii) の結果は一致するため、場合分けをして除外する必要はない。

解法2

(1) 列ベクトル $\vec{v}$ を次のように定める。

$$ \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

2次正方行列 $M$ について、$M \in R$ であることの同値条件を考える。 $M$ の成分を用いて $M\vec{v}$ を計算する。

$$ M\vec{v} = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y \\ z+w \end{pmatrix} $$

$M \in R$ のとき $x+y = z+w$ が成り立つ。 この値を $s$ とおくと、次のように表せる。

$$ M\vec{v} = \begin{pmatrix} s \\ s \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = s\vec{v} $$

したがって、$M \in R$ であることは、「ある実数 $s$ が存在して $M\vec{v} = s\vec{v}$ が成り立つこと」と同値である。 いま $A, B \in R$ であるから、ある実数 $\alpha, \beta$ を用いて次のように書ける。

$$ A\vec{v} = \alpha\vec{v} $$

$$ B\vec{v} = \beta\vec{v} $$

このとき、行列の積 $AB$ と $\vec{v}$ の積を計算する。

$$ (AB)\vec{v} = A(B\vec{v}) = A(\beta\vec{v}) = \beta(A\vec{v}) = \beta(\alpha\vec{v}) = \alpha\beta\vec{v} $$

$\alpha\beta$ は実数であるから、$AB$ も同様の条件を満たす。 よって、$AB \in R$ であることが示された。

解説

(1) は、成分を愚直に計算しても証明できるが、解法2のように「各行の成分の和が等しい」という性質を固有ベクトルの式 $M\vec{v} = s\vec{v}$ に翻訳すると、計算量を大幅に減らすことができる。このような行列は「行和一定の行列」と呼ばれ、確率行列の研究などでもよく現れる性質である。 (2) は、文字を含んだ行列の固有値・固有ベクトルを求める標準問題である。固有多項式を計算する際、問題文の条件式 $a+b=c+d$ を代入することで、多項式が因数分解できる形に整うよう仕組まれている。条件 $b \neq 0$ または $c \neq 0$ は、行列がスカラー行列になって固有ベクトルが定まらなくなることを防ぐためのものである。

答え

(1) 積 $AB$ の1行目の成分の和と2行目の成分の和が一致することが確認できるため、$AB \in R$ である。（証明終わり）

(2) $$ (k, \vec{u}) = \left( a+b, \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right), \quad \left( a-c, \pm \frac{1}{\sqrt{b^2 + c^2}} \begin{pmatrix} b \\ -c \end{pmatrix} \right) \quad \text{（複号同順）} $$