北海道大学 1982年 理系 第3問 解説

方針・初手

与えられた関数を微分して導関数を求め、指定された区間における増減を調べます。三角関数の合成を用いることで、極値をとる $x$ の条件を簡潔な形で表すことができます。そこから得られる極大値を数列として捉え、無限等比級数の和を計算します。

解法1

(1)

与えられた関数 $y = e^{-\sqrt{3}x} \sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right)$ を $x$ について微分する。積の微分公式と合成関数の微分公式より、

$$ \begin{aligned} y' &= \left( e^{-\sqrt{3}x} \right)' \sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) + e^{-\sqrt{3}x} \left( \sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) \right)' \\ &= -\sqrt{3} e^{-\sqrt{3}x} \sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) + e^{-\sqrt{3}x} \cdot 3 \cos\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) \\ &= \sqrt{3} e^{-\sqrt{3}x} \left\{ -\sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) + \sqrt{3} \cos\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) \right\} \end{aligned} $$

括弧内について三角関数の合成を行う。

$$ \begin{aligned} -\sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) + \sqrt{3} \cos\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) &= 2 \left\{ \sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) \left(-\frac{1}{2}\right) + \cos\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) \frac{\sqrt{3}}{2} \right\} \\ &= 2 \left\{ \sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) \cos\frac{2}{3}\pi + \cos\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) \sin\frac{2}{3}\pi \right\} \\ &= 2 \sin\left( 3x + \frac{\pi}{6} + \frac{2}{3}\pi \right) \\ &= 2 \sin\left( 3x + \frac{5}{6}\pi \right) \end{aligned} $$

したがって、導関数は次のように表される。

$$ y' = 2\sqrt{3} e^{-\sqrt{3}x} \sin\left(3x + \frac{5}{6}\pi\right) $$

$e^{-\sqrt{3}x} > 0$ であるから、$y' = 0$ となる条件は $\sin\left(3x + \frac{5}{6}\pi\right) = 0$ である。これを満たす $x$ は、$k$ を任意の整数として、

$$ 3x + \frac{5}{6}\pi = k\pi \iff x = \frac{6k - 5}{18}\pi $$

となる。ここで、$x$ が与えられた開区間 $\left( \frac{2(n-1)}{3}\pi, \frac{2n}{3}\pi \right)$ に含まれるような $k$ の条件を求める。

$$ \frac{2(n-1)}{3}\pi < \frac{6k - 5}{18}\pi < \frac{2n}{3}\pi $$

各辺に $\frac{18}{\pi}$ を掛けると、

$$ 12n - 12 < 6k - 5 < 12n $$

各辺に $5$ を加えると、

$$ 12n - 7 < 6k < 12n + 5 $$

これを満たす６の倍数 $6k$ を考える。$n$ は整数であるから、$6k$ のとりうる値は $12n - 6$ と $12n$ の2つに限られる。すなわち、対応する整数 $k$ は以下の2つである。

$$ k = 2n - 1, \quad 2n $$

それぞれの $k$ に対応する $x$ を $x_1, x_2$ とおくと、

$$ x_1 = \frac{6(2n-1) - 5}{18}\pi = \frac{12n - 11}{18}\pi $$

$$ x_2 = \frac{6(2n) - 5}{18}\pi = \frac{12n - 5}{18}\pi $$

となり、$x_1 < x_2$ である。 次に、この区間における $y'$ の符号変化を調べる。$X = 3x + \frac{5}{6}\pi$ とおくと、$x$ が $\frac{2(n-1)}{3}\pi$ から $\frac{2n}{3}\pi$ まで変化するとき、$X$ は

$$ 3 \cdot \frac{2n-2}{3}\pi + \frac{5}{6}\pi = 2n\pi - \frac{7}{6}\pi $$

から

$$ 3 \cdot \frac{2n}{3}\pi + \frac{5}{6}\pi = 2n\pi + \frac{5}{6}\pi $$

まで変化する。この $X$ の範囲（幅 $2\pi$）において、$\sin X$ は以下のように符号変化する。

• $2n\pi - \frac{7}{6}\pi < X < (2n-1)\pi$ のとき、$\sin X > 0$
• $(2n-1)\pi < X < 2n\pi$ のとき、$\sin X < 0$
• $2n\pi < X < 2n\pi + \frac{5}{6}\pi$ のとき、$\sin X > 0$

したがって、開区間 $\left( \frac{2(n-1)}{3}\pi, \frac{2n}{3}\pi \right)$ における $y$ の増減表は次のようになる。

$x$	$\left(\frac{2n-2}{3}\pi\right)$	$\cdots$	$x_1$	$\cdots$	$x_2$	$\cdots$	$\left(\frac{2n}{3}\pi\right)$
$y'$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$y$		$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$

増減表より、関数 $y$ はこの開区間で $x = x_1$ のときに極大値、 $x = x_2$ のときに極小値をそれぞれ1回ずつとることが示された。

(2)

(1) の結果より、$y_n$ は $x = x_1 = \frac{12n - 11}{18}\pi$ における $y$ の値であるから、

$$ y_n = e^{-\sqrt{3} \cdot \frac{12n - 11}{18}\pi} \sin\left( 3 \cdot \frac{12n - 11}{18}\pi + \frac{\pi}{6} \right) $$

ここで、正弦関数の引数を計算すると、

$$ \begin{aligned} 3 \cdot \frac{12n - 11}{18}\pi + \frac{\pi}{6} &= \frac{12n - 11}{6}\pi + \frac{\pi}{6} \\ &= \frac{12n - 10}{6}\pi \\ &= \left( 2n - \frac{5}{3} \right)\pi \\ &= 2n\pi - \frac{5}{3}\pi \end{aligned} $$

となる。正弦関数の周期性を利用すると、

$$ \sin\left( 2n\pi - \frac{5}{3}\pi \right) = \sin\left( -\frac{5}{3}\pi \right) = \sin\left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

よって、$y_n$ は次のように求まる。

$$ y_n = \frac{\sqrt{3}}{2} e^{-\frac{\sqrt{3}(12n - 11)}{18}\pi} = \frac{\sqrt{3}}{2} e^{\frac{11\sqrt{3}}{18}\pi} \cdot \left( e^{-\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi} \right)^n $$

これは、$n$ についての等比数列である。 初項を $a$、公比を $r$ とすると、

$$ a = y_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} e^{\frac{11\sqrt{3}}{18}\pi} \cdot e^{-\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi} = \frac{\sqrt{3}}{2} e^{-\frac{\sqrt{3}}{18}\pi} $$

$$ r = e^{-\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi} $$

ここで、公比 $r$ は $0 < e^{-\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi} < 1$ を満たすため、無限等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty} y_n$ は収束する。その和は、

$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} y_n &= \frac{a}{1 - r} \\ &= \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} e^{-\frac{\sqrt{3}}{18}\pi}}{1 - e^{-\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi}} \end{aligned} $$

となる。

解説

微積分と無限等比級数の基本が問われる標準的な問題です。(1) では、指数関数と三角関数の積の導関数を正しく計算し、三角関数の合成を用いて $y'=0$ の方程式を解くことが重要です。極値をとる $x$ を一般の $n$ を用いて表す際に、不等式処理で絞り込むアプローチが確実です。(2) では、求めた $x$ を元の関数に代入して $y_n$ を求めますが、三角関数の周期性から $\sin$ の部分が定数になることに気づけば、自然と等比数列が現れます。無限等比級数の和の公式を適用する際は、公比の絶対値が1より小さいことの確認を忘れないようにしましょう。

答え

(1) 略証 (本文参照)

(2) $\displaystyle \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} e^{-\frac{\sqrt{3}}{18}\pi}}{1 - e^{-\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi}}$