九州大学 1979年 理系 第3問 解説

方針・初手

行列の積を計算し、各成分を比較して条件式を導き出します。 与えられた等式から $x$ と $z$ をそれぞれ $y$ と $w$ を用いて表すことで、2つの列ベクトル $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix}$ が共通のベクトルを定数倍した形で表せることに着目します。 その後、ベクトルの成分が $0$ になるかどうかに応じて適切に場合分けを行い、条件を満たす実数 $h$ または $k$ の存在を示します。

解法1

与えられた行列の積を計算すると、以下のようになる。

$$\begin{pmatrix} 1 & a \\ b & ab \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & z \\ y & w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+ay & z+aw \\ bx+aby & bz+abw \end{pmatrix}$$

これが零行列 $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ に等しいので、各成分を比較して次の連立方程式を得る。

$$\begin{aligned} x+ay &= 0 \quad \cdots \text{(1)} \\ z+aw &= 0 \quad \cdots \text{(2)} \\ b(x+ay) &= 0 \quad \cdots \text{(3)} \\ b(z+aw) &= 0 \quad \cdots \text{(4)} \end{aligned}$$

式(1)、(2)が成り立てば式(3)、(4)は自動的に成り立つため、満たすべき条件は式(1)かつ式(2)である。 これらより、$x$ と $z$ は次のように表される。

$$x = -ay, \quad z = -aw$$

これを問題の列ベクトルに代入すると、以下のようになる。

$$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -ay \\ y \end{pmatrix} = y \begin{pmatrix} -a \\ 1 \end{pmatrix} \quad \cdots \text{(5)}$$

$$\begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -aw \\ w \end{pmatrix} = w \begin{pmatrix} -a \\ 1 \end{pmatrix} \quad \cdots \text{(6)}$$

ここから、$y$ と $w$ の値について場合分けを行う。

(i) $w \neq 0$ のとき 式(6)の両辺を $w$ で割ると、

$$\begin{pmatrix} -a \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{w} \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix}$$

となる。これを式(5)に代入すると、

$$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{y}{w} \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix}$$

となり、$h = \frac{y}{w}$ とすれば、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = h \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix}$ を満たす実数 $h$ が存在する。

(ii) $y \neq 0$ のとき 同様に、式(5)の両辺を $y$ で割ると、

$$\begin{pmatrix} -a \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{y} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

となる。これを式(6)に代入すると、

$$\begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} = \frac{w}{y} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

となり、$k = \frac{w}{y}$ とすれば、$\begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を満たす実数 $k$ が存在する。

(iii) $y = 0$ かつ $w = 0$ のとき 式(5)、(6)より、

$$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

となる。このとき、任意の $h$ （例えば $h=0$ ）について、

$$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

が成り立つため、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = h \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix}$ を満たす実数 $h$ が存在する（実数 $k$ についても同様に存在する）。

以上 (i) ～ (iii) のすべての場合において、条件を満たす実数 $h$ または $k$ の少なくとも一方が存在することが示された。

解法2

行列の列ベクトルを用いた見方で証明する。 与えられた条件式は、行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ b & ab \end{pmatrix}$ と、ベクトル $\vec{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \vec{v} = \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix}$ を用いて、

$$A \vec{u} = \vec{0}, \quad A \vec{v} = \vec{0}$$

と表すことができる。 行列 $A$ と任意のベクトル $\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}$ の積を計算すると、

$$\begin{pmatrix} 1 & a \\ b & ab \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X+aY \\ bX+abY \end{pmatrix} = (X+aY) \begin{pmatrix} 1 \\ b \end{pmatrix}$$

となるため、$A \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \vec{0}$ となるための必要十分条件は $X+aY = 0$ である。 したがって、$A \vec{u} = \vec{0}$ かつ $A \vec{v} = \vec{0}$ より、ベクトル $\vec{u}$ と $\vec{v}$ はどちらも直線 $X+aY=0$ 上に存在する。

同一の直線上にある2つのベクトルは、一方が他方の実数倍で表される（一次従属である）ため、

$$\vec{u} = h \vec{v} \quad \text{または} \quad \vec{v} = k \vec{u}$$

を満たす実数 $h, k$ の少なくとも一方が存在する。 すなわち、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = h \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix}$ または $\begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を満たす実数 $h, k$ の少なくとも一方が存在することが示された。

解説

2つの列ベクトルが「一方が他方の実数倍になる」という条件は、2つのベクトルが平行である（一次従属である）ことを意味します。 解法1のように成分計算によって共通のベクトル $\begin{pmatrix} -a \\ 1 \end{pmatrix}$ をくくり出すことができれば、あとはゼロ割りを避けるための場合分けを行うだけで完答できます。論理の飛躍を防ぐため、「 $w=0$ かつ $y=0$ 」のケース（両方が零ベクトルになる場合）を忘れないように記述することが重要です。

解法2は行列の構造に注目したエレガントな解法です。行列 $\begin{pmatrix} 1 & a \\ b & ab \end{pmatrix}$ は行列式が $0$ であり、各行が比例関係にあるため、この行列による一次変換の核（カーネル）が直線になることを見抜けると、見通しよく証明できます。

答え

成分計算から $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = y \begin{pmatrix} -a \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} = w \begin{pmatrix} -a \\ 1 \end{pmatrix}$ と表せることを導き、$y, w$ の値による場合分け（一方が $0$ でない場合、および両方が $0$ の場合）を行うことで、題意を満たす実数 $h$ または $k$ が存在することが示された。