北海道大学 1985年 理系 第3問 解説

方針・初手

(1) 曲線上の点と与えられた点の距離の2乗を $x$ の関数として表し、微分を用いて増減を調べる。 (2) 軌跡の平行移動の基本に従い、$x$ を $x - (-2) = x + 2$ に置き換える。 (3) (2) で求めた平行移動を利用し、積分区間を対称な形にして奇関数・偶関数の性質や円の面積を用いて計算を簡略化する。

(1)

解法1

曲線 $C$ の方程式 $y = x\sqrt{4x - x^2}$ において、根号内は $0$ 以上であるから

$$ 4x - x^2 \ge 0 $$

$$ x(x - 4) \le 0 $$

$$ 0 \le x \le 4 $$

曲線 $C$ 上の点を $P(x, x\sqrt{4x - x^2})$ とし、点 $A(3, 0)$ との距離の2乗を $f(x)$ とおく。

$$ f(x) = AP^2 = (x - 3)^2 + \left( x\sqrt{4x - x^2} \right)^2 $$

$$ = x^2 - 6x + 9 + x^2(4x - x^2) $$

$$ = -x^4 + 4x^3 + x^2 - 6x + 9 $$

これを $x$ について微分すると

$$ f'(x) = -4x^3 + 12x^2 + 2x - 6 $$

$$ = -2(2x^3 - 6x^2 - x + 3) $$

$$ = -2 \{ 2x^2(x - 3) - (x - 3) \} $$

$$ = -2(2x^2 - 1)(x - 3) $$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}, 3$ である。

定義域 $0 \le x \le 4$ における $f(x)$ の増減表は以下のようになる。

$x$	$0$	$\cdots$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\cdots$	$3$	$\cdots$	$4$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$9$	$\searrow$	極小	$\nearrow$	$27$	$\searrow$	$1$

端点における値および極大値は以下の通りである。

$$ f(0) = 9 $$

$$ f(4) = -4^4 + 4 \cdot 4^3 + 4^2 - 6 \cdot 4 + 9 = -256 + 256 + 16 - 24 + 9 = 1 $$

$$ f(3) = -3^4 + 4 \cdot 3^3 + 3^2 - 6 \cdot 3 + 9 = -81 + 108 + 9 - 18 + 9 = 27 $$

増減表より、$0 \le x \le 4$ における $f(x)$ の最大値は $27$ である。

求める距離の最大値は $\sqrt{f(x)}$ の最大値であるから、

$$ \sqrt{27} = 3\sqrt{3} $$

(2)

解法1

曲線 $C$ を $x$ 軸の方向に $-2$ だけ平行移動して得られる曲線の方程式は、$C$ の方程式の $x$ を $x - (-2) = x + 2$ に置き換えることで得られる。

$$ y = (x + 2)\sqrt{4(x + 2) - (x + 2)^2} $$

根号の中を整理すると

$$ 4(x + 2) - (x + 2)^2 = 4x + 8 - (x^2 + 4x + 4) = 4 - x^2 $$

よって、求める曲線の方程式は

$$ y = (x + 2)\sqrt{4 - x^2} $$

(3)

解法1

曲線 $C$ は $0 \le x \le 4$ において $y \ge 0$ であるから、曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積 $S$ は

$$ S = \int_{0}^{4} x\sqrt{4x - x^2} dx $$

ここで、積分変数を $x$ から $t$ へ $x = t + 2$ と置換する。これは (2) の平行移動に対応している。

$dx = dt$ であり、積分区間は $x$ が $0$ から $4$ に変化するとき、$t$ は $-2$ から $2$ に変化する。

$$ S = \int_{-2}^{2} (t + 2)\sqrt{4 - t^2} dt $$

$$ = \int_{-2}^{2} t\sqrt{4 - t^2} dt + 2 \int_{-2}^{2} \sqrt{4 - t^2} dt $$

第1項の被積分関数 $t\sqrt{4 - t^2}$ は奇関数であり、積分区間が原点について対称であるから、定積分の値は $0$ となる。

第2項の定積分 $\int_{-2}^{2} \sqrt{4 - t^2} dt$ は、半径 $2$ の半円の面積を表す。

したがって、

$$ S = 0 + 2 \times \left( \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 2^2 \right) = 4\pi $$

解説

(1) は2点間の距離の公式を用いて関数を設定し、微分して増減を調べる標準的な問題である。根号をそのまま扱うと微分が煩雑になるため、距離の「2乗」を関数と置いて計算を楽にするのが定石である。

(3) では、そのまま部分積分や三角関数による置換を行って計算することも可能だが、(2) の平行移動が強力な誘導になっていることに気づくことが重要である。平行移動によって積分区間が対称となり、奇関数・偶関数の性質や円の面積の公式を利用することで大幅に計算量を減らすことができる。

答え

(1)

$$ 3\sqrt{3} $$

(2)

$$ y = (x + 2)\sqrt{4 - x^2} $$

(3)

$$ 4\pi $$