トップ› 北海道大学› 1994年› 理系第3問

北海道大学 1994年理系第3問解説

方針・初手

各図形の面積 $S_1, S_2, S_3$ を定積分を用いて表す。
直線 $MN$ の方程式を $y = kx + m$ とおき、$S_2 = S_1 + S_3$ という条件を $x$ の区間 $[0, a]$ における1つの定積分の式に帰着させる。
(2) は、解と係数の関係を用いて線分 $PQ$ の長さの2乗を傾き $k$ の関数として表し、その最小値を求める。

解法1

(1) 直線 $MN$ の方程式を $y = kx + m$ とおく。

点 $M, N$ はそれぞれ直線 $x=0, x=a$ 上にあるため、$y$ 軸上の点 $M(0, m)$ および直線 $x=a$ 上の点 $N(a, ka+m)$ である。

曲線 $C: y = ax - x^2$ と直線 $MN$ の交点 $P, Q$ の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha, \beta$ （$0 < \alpha < \beta < a$）とする。

区間 $[0, \alpha]$ および $[\beta, a]$ では直線 $MN$ が曲線 $C$ の上側にあり、区間 $[\alpha, \beta]$ では曲線 $C$ が直線 $MN$ の上側にある。

図形 $S_1, S_2, S_3$ の面積は、それぞれ以下の定積分で表される。

$$ S_1 = \int_0^\alpha \{ (kx+m) - (ax-x^2) \} dx $$

$$ S_2 = \int_\alpha^\beta \{ (ax-x^2) - (kx+m) \} dx $$

$$ S_3 = \int_\beta^a \{ (kx+m) - (ax-x^2) \} dx $$

条件より $S_2 = S_1 + S_3$ であるから、

$$ S_1 - S_2 + S_3 = 0 $$

が成り立つ。

ここで、関数 $f(x) = (kx+m) - (ax-x^2) = x^2 + (k-a)x + m$ とおくと、

$$ S_1 = \int_0^\alpha f(x) dx, \quad S_2 = -\int_\alpha^\beta f(x) dx, \quad S_3 = \int_\beta^a f(x) dx $$

となるため、上の条件式は次のように変形できる。

$$ \int_0^\alpha f(x) dx + \int_\alpha^\beta f(x) dx + \int_\beta^a f(x) dx = 0 $$

すなわち、

$$ \int_0^a f(x) dx = 0 $$

となる。

積分を計算すると、

$$ \int_0^a \{ x^2 + (k-a)x + m \} dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 + \frac{k-a}{2}x^2 + mx \right]_0^a = \frac{1}{3}a^3 + \frac{k-a}{2}a^2 + ma $$

となるから、

$$ \frac{1}{3}a^3 + \frac{k-a}{2}a^2 + ma = 0 $$

$a > 0$ より両辺を $a$ で割ると、

$$ \frac{1}{3}a^2 + \frac{k-a}{2}a + m = 0 $$

$$ m = \frac{1}{6}a^2 - \frac{1}{2}ak $$

これを直線 $MN$ の方程式 $y = kx + m$ に代入して整理すると、

$$ y = kx + \frac{1}{6}a^2 - \frac{1}{2}ak $$

$$ y = k\left( x - \frac{a}{2} \right) + \frac{a^2}{6} $$

この等式は、$k$ の値に関わらず $x = \frac{a}{2}, y = \frac{a^2}{6}$ のとき常に成り立つ。

したがって、線分 $MN$ は定点 $\left( \frac{a}{2}, \frac{a^2}{6} \right)$ を通る。

(2) $P, Q$ の $x$ 座標 $\alpha, \beta$ は、2次方程式 $x^2 + (k-a)x + m = 0$ すなわち

$$ x^2 + (k-a)x - \frac{1}{2}ak + \frac{1}{6}a^2 = 0 $$

の2つの実数解である。

解と係数の関係より、

$$ \alpha + \beta = a - k $$

$$ \alpha\beta = - \frac{1}{2}ak + \frac{1}{6}a^2 $$

線分 $PQ$ の長さを $L$ とすると、直線の傾きが $k$ であることから

$$ L^2 = (\beta - \alpha)^2 + \{ (k\beta + m) - (k\alpha + m) \}^2 = (1+k^2)(\beta - \alpha)^2 $$

ここで、

$$ \begin{aligned} (\beta - \alpha)^2 &= (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta \\ &= (a-k)^2 - 4\left( - \frac{1}{2}ak + \frac{1}{6}a^2 \right) \\ &= a^2 - 2ak + k^2 + 2ak - \frac{2}{3}a^2 \\ &= k^2 + \frac{a^2}{3} \end{aligned} $$

となる。

したがって、

$$ L^2 = (1+k^2)\left( k^2 + \frac{a^2}{3} \right) $$

$L > 0$ であるため、$L$ が最小となるのは $L^2$ が最小となるときである。

$k^2 \ge 0$ および $\frac{a^2}{3} > 0$ より、右辺は $k^2 = 0$ すなわち $k=0$ のとき最小となる。

このとき、

$$ (\beta - \alpha)^2 = \frac{a^2}{3} > 0 $$

を満たし、異なる2つの実数解をもつ。

またその解は $x^2 - ax + \frac{1}{6}a^2 = 0$ より

$$ x = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - \frac{2}{3}a^2}}{2} = \frac{a}{2} \pm \frac{a}{2\sqrt{3}} $$

となり、$0 < x < a$ の範囲に2解を持つため、条件 $0 < \alpha < \beta < a$ を満たしている。

求める直線の方程式は、$k=0$ を (1) の結果に代入して、

$$ y = \frac{a^2}{6} $$

となる。

解説

複雑に見える面積の条件 $S_2 = S_1 + S_3$ は、積分区間をつなげることで 1つの定積分 $\int_0^a \{(直線) - (放物線)\} dx = 0$ に帰着できることが最大のポイントである。これは、「符号付き面積の和が $0$ になる」という解釈に基づいている。
線分 $PQ$ の長さについては、交点の $x$ 座標を直接求めるのではなく、解と係数の関係を利用して対称式から計算する手法が定石である。
求めた $k=0$ のもとで、交点 $P, Q$ が実際に線分 $MN$ ($0<x<a$) 上に存在することの確認（成立条件の確認）を忘れないようにしたい。