東北大学 1985年 文系 第2問 解説

方針・初手

長方形を取り除いた残りの面積を最小にするには、$D$ の中に入る長方形の面積を最大にすればよい。

図形 $D$ は、$x$ 軸の上側で

• $0 \le x \le 2$ では上端が直線 $y=x$
• $2 \le x \le 4$ では上端が放物線 $y=-\dfrac12 x(x-4)$

となる領域である。

したがって、面積最大の長方形は下辺が $x$ 軸上にあり、左上の頂点が直線 $y=x$ 上、右上の頂点が放物線上にあると考えればよい。

解法1

長方形の右上の頂点の $x$ 座標を $b$ とする。ただし $2 \le b \le 4$ である。

このとき右上の頂点は放物線上にあるから、長方形の高さ $h$ は

$$ h=-\frac12 b(b-4)=2b-\frac12 b^2 $$

である。

また、左上の頂点は直線 $y=x$ 上にあるので、左辺の $x$ 座標は $x=h$ である。したがって長方形の幅は

$$ b-h $$

であり、面積 $A(b)$ は

$$ A(b)=h(b-h) $$

となる。

ここで $h=2b-\dfrac12 b^2$ を代入すると、

$$ A(b)=\left(2b-\frac12 b^2\right)\left(b-\left(2b-\frac12 b^2\right)\right) =-\frac14 b^4+\frac32 b^3-2b^2 $$

である。

これを微分すると

$$ A'(b)=-b^3+\frac92 b^2-4b =-\frac{b}{2}(2b^2-9b+8) $$

となる。

よって極値の候補は

$$ 2b^2-9b+8=0 $$

より

$$ b=\frac{9\pm\sqrt{17}}{4} $$

である。$2 \le b \le 4$ を満たすのは

$$ b=\frac{9+\sqrt{17}}{4} $$

のみである。

このとき

$$ h=2b-\frac12 b^2 =\frac{23-\sqrt{17}}{16} $$

したがって最大面積は

$$ A_{\max}=h(b-h) =\frac{107+51\sqrt{17}}{128} $$

である。

次に、図形 $D$ の面積を求める。

$0 \le x \le 2$ では上端が $y=x$、$2 \le x \le 4$ では上端が $y=-\dfrac12 x(x-4)$ であるから、

$$ \text{面積}(D) =\int_0^2 x,dx+\int_2^4 \left(-\frac12 x(x-4)\right),dx $$

である。

計算すると

$$ \int_0^2 x,dx=2 $$

$$ \int_2^4 \left(-\frac12 x(x-4)\right),dx =\int_2^4 \left(-\frac12 x^2+2x\right),dx =\frac83 $$

より

$$ \text{面積}(D)=2+\frac83=\frac{14}{3} $$

となる。

よって、長方形を取り除いた残りの部分の面積の最小値は

$$ \frac{14}{3}-\frac{107+51\sqrt{17}}{128} =\frac{1471-153\sqrt{17}}{384} $$

である。

解説

この問題の本質は、「残りを最小にする」ことを「取り除く長方形を最大にする」ことに言い換える点にある。

さらに、$D$ は下端が常に $x$ 軸で、上端が左では直線、右では放物線になっている。したがって面積最大の長方形は、下にずらせる余地も左右に広げる余地もない状態、すなわち

• 下辺が $x$ 軸上
• 左上が $y=x$ 上
• 右上が放物線上

となる。

この形に落とし込めれば、あとは変数を1つにして面積を微分すればよい。

答え

長方形を取り除いた残りの部分の面積の最小値は

$$ \frac{1471-153\sqrt{17}}{384} $$

である。