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北海道大学 1988年理系第2問解説

方針・初手

(1) 点 $P$ から平面 $\pi$ に下ろした垂線は、平面 $\pi$ の法線ベクトルと平行になることを利用し、垂線の足 $H$ の座標をパラメータで表して平面の方程式に代入する。
(2) 円 $C$ は平面 $\pi$ 上にある。点 $P$ と平面 $\pi$ 上の点 $Q$ を結ぶ線分 $PQ$ の長さは、直角三角形 $PHQ$ に着目して $PQ^2 = PH^2 + HQ^2$ と表せる。$PH$ は一定であるから、平面 $\pi$ 上での点 $H$ と円 $C$ 上の点 $Q$ の距離 $HQ$ の最小化問題に帰着させる。

解法1

(1)

平面 $\pi : 3x + 4y + 5\sqrt{2}z - 15 = 0$ の法線ベクトルの一つを $\vec{n} = (3, 4, 5\sqrt{2})$ とする。点 $H$ は点 $P(6, 3, 6\sqrt{2})$ から平面 $\pi$ に下ろした垂線の足であるから、実数 $t$ を用いて

$$ \vec{OH} = \vec{OP} + t\vec{n} $$

と表せる。成分で表すと、

$$ \begin{aligned} \vec{OH} &= (6, 3, 6\sqrt{2}) + t(3, 4, 5\sqrt{2}) \\ &= (6+3t, 3+4t, 6\sqrt{2}+5\sqrt{2}t) \end{aligned} $$

点 $H$ は平面 $\pi$ 上の点であるから、座標を $\pi$ の方程式に代入して

$$ 3(6+3t) + 4(3+4t) + 5\sqrt{2}(6\sqrt{2}+5\sqrt{2}t) - 15 = 0 $$

展開して整理すると、

$$ 18 + 9t + 12 + 16t + 60 + 50t - 15 = 0 $$

$$ 75t + 75 = 0 $$

よって、$t = -1$ となる。これを $\vec{OH}$ の成分表示に代入すると、点 $H$ の座標は

$$ (6 - 3, 3 - 4, 6\sqrt{2} - 5\sqrt{2}) = (3, -1, \sqrt{2}) $$

また、$PH$ の長さは、$\vec{PH} = -\vec{n}$ であるから、

$$ PH = |-\vec{n}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{9 + 16 + 50} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} $$

(2)

球面 $S : x^2 + y^2 + z^2 = 4$ は中心が原点 $O(0,0,0)$、半径が $2$ の球面である。原点 $O$ から平面 $\pi$ に下ろした垂線の足を $A$ とすると、点 $O$ と平面 $\pi$ の距離 $OA$ は

$$ OA = \frac{|-15|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (5\sqrt{2})^2}} = \frac{15}{\sqrt{75}} = \frac{15}{5\sqrt{3}} = \sqrt{3} $$

円 $C$ は球面 $S$ を平面 $\pi$ で切った断面であるから、$C$ は平面 $\pi$ 上にあり、その中心は $A$ である。円 $C$ の半径 $r$ は三平方の定理より

$$ r = \sqrt{2^2 - OA^2} = \sqrt{4 - 3} = 1 $$

点 $A$ の座標を求める。$\vec{OA}$ は $\vec{n}$ と平行であるから、実数 $s$ を用いて $\vec{OA} = s\vec{n} = (3s, 4s, 5\sqrt{2}s)$ とおける。 $A$ は平面 $\pi$ 上の点であるから、

$$ 3(3s) + 4(4s) + 5\sqrt{2}(5\sqrt{2}s) - 15 = 0 $$

$$ 75s = 15 $$

よって $s = \frac{1}{5}$ となり、$A \left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \sqrt{2} \right)$ である。

次に、円 $C$ 上の点を $Q$ とする。直線 $PH$ は平面 $\pi$ と垂直に交わり、点 $Q$ は平面 $\pi$ 上にあるから、$\triangle PHQ$ は $\angle PHQ = 90^\circ$ の直角三角形である。したがって、三平方の定理より

$$ PQ^2 = PH^2 + HQ^2 = 75 + HQ^2 $$

が成り立つ。$PQ$ が最小になるのは、$HQ$ が最小になるときである。平面 $\pi$ 上における点 $H$ と点 $A$ の距離 $HA$ は、

$$ \begin{aligned} HA &= \sqrt{\left( \frac{3}{5} - 3 \right)^2 + \left( \frac{4}{5} - (-1) \right)^2 + (\sqrt{2} - \sqrt{2})^2} \\ &= \sqrt{\left( -\frac{12}{5} \right)^2 + \left( \frac{9}{5} \right)^2} \\ &= \sqrt{\frac{144 + 81}{25}} \\ &= \sqrt{\frac{225}{25}} = 3 \end{aligned} $$

$HA = 3$ であり、円 $C$ の半径は $1$ であるから、$HA > r$ となり、点 $H$ は円 $C$ の外部にある。点 $Q$ が円 $C$ 上を動くとき、$H$ から $Q$ までの距離 $HQ$ が最小となるのは、点 $Q$ が線分 $HA$ 上にあるときであり、その最小値は

$$ HQ_{\text{min}} = HA - r = 3 - 1 = 2 $$

以上より、$PQ$ の最小値は、

$$ PQ_{\text{min}} = \sqrt{75 + 2^2} = \sqrt{79} $$

解説

空間図形において「点と円上の点の距離」の最大・最小を問う典型的な問題である。空間座標のまま2点間の距離の式を立てて変数を処理しようとすると計算が非常に煩雑になる。そのため、円を含む平面へ垂線を下ろし、直角三角形を用いた三平方の定理によって「平面上の2点間の距離問題」に帰着させるアプローチが極めて有効である。