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北海道大学 2018年理系第1問解説

方針・初手

(1) は、与えられたベクトルの成分を用いて直接計算することもできるが、基本となるベクトル $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}, \vec{OD}$ の大きさと内積をあらかじめ求めておくと、式展開が非常に見通しよく進む。 (2) は、内積の定義 $\vec{p} \cdot \vec{q} = |\vec{p}||\vec{q}| \cos \theta$ に (1) の結果を代入して方程式を解く。 (3) は、$|\vec{p} - \vec{q}|^2$ を展開して $s, t$ の2変数関数とみなし、それぞれについて平方完成を行うことで最小値を求める。

解法1

(1)

まず、与えられた4点の座標から、位置ベクトルの成分は以下のようになる。

$$ \begin{aligned} \vec{OA} &= \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) \\ \vec{OB} &= (0, 0, 1) \\ \vec{OC} &= \left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -1\right) \\ \vec{OD} &= \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -1\right) \end{aligned} $$

それぞれのベクトルの大きさの2乗を計算する。

$$ \begin{aligned} |\vec{OA}|^2 &= \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1 \\ |\vec{OB}|^2 &= 0^2 + 0^2 + 1^2 = 1 \\ |\vec{OC}|^2 &= \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + (-1)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1 = 2 \\ |\vec{OD}|^2 &= \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + (-1)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1 = 2 \end{aligned} $$

また、これらを用いて定義される $\vec{p}, \vec{q}$ を展開するために必要な内積を計算しておく。

$$ \begin{aligned} \vec{OA} \cdot \vec{OB} &= 0 + 0 + 0 = 0 \\ \vec{OC} \cdot \vec{OD} &= -\frac{1}{4} - \frac{3}{4} + 1 = 0 \\ \vec{OA} \cdot \vec{OC} &= \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} + 0 = 0 \\ \vec{OA} \cdot \vec{OD} &= -\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} + 0 = 0 \\ \vec{OB} \cdot \vec{OC} &= 0 + 0 - 1 = -1 \\ \vec{OB} \cdot \vec{OD} &= 0 + 0 - 1 = -1 \end{aligned} $$

これらを利用して、$|\vec{p}|^2, |\vec{q}|^2$ を求める。$\vec{p} = (1-t)\vec{OA} + t\vec{OB}$ より、

$$ \begin{aligned} |\vec{p}|^2 &= (1-t)^2|\vec{OA}|^2 + t^2|\vec{OB}|^2 + 2t(1-t)\vec{OA}\cdot\vec{OB} \\ &= (1-t)^2 \cdot 1 + t^2 \cdot 1 + 0 \\ &= 2t^2 - 2t + 1 \end{aligned} $$

$|\vec{p}| \geqq 0$ であるから、

$$ |\vec{p}| = \sqrt{2t^2 - 2t + 1} $$

同様に、$\vec{q} = (1-s)\vec{OC} + s\vec{OD}$ より、

$$ \begin{aligned} |\vec{q}|^2 &= (1-s)^2|\vec{OC}|^2 + s^2|\vec{OD}|^2 + 2s(1-s)\vec{OC}\cdot\vec{OD} \\ &= (1-s)^2 \cdot 2 + s^2 \cdot 2 + 0 \\ &= 2(s^2 - 2s + 1) + 2s^2 \\ &= 4s^2 - 4s + 2 \end{aligned} $$

$|\vec{q}| \geqq 0$ であるから、

$$ |\vec{q}| = \sqrt{4s^2 - 4s + 2} $$

次に内積 $\vec{p} \cdot \vec{q}$ を計算する。

$$ \begin{aligned} \vec{p} \cdot \vec{q} &= \{(1-t)\vec{OA} + t\vec{OB}\} \cdot \{(1-s)\vec{OC} + s\vec{OD}\} \\ &= (1-t)(1-s)\vec{OA}\cdot\vec{OC} + (1-t)s\vec{OA}\cdot\vec{OD} + t(1-s)\vec{OB}\cdot\vec{OC} + ts\vec{OB}\cdot\vec{OD} \\ &= 0 + 0 + t(1-s)(-1) + ts(-1) \\ &= -t + ts - ts \\ &= -t \end{aligned} $$

(2)

(1) の結果において、$t = \frac{1}{2}$ とすると、

$$ \begin{aligned} |\vec{p}| &= \sqrt{2\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{2}\right) + 1} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \vec{p} \cdot \vec{q} &= -\frac{1}{2} \end{aligned} $$

ベクトル $\vec{p}$ と $\vec{q}$ のなす角が $\frac{3}{4}\pi$ であるとき、内積の定義より次が成り立つ。

$$ \vec{p} \cdot \vec{q} = |\vec{p}||\vec{q}| \cos\left(\frac{3}{4}\pi\right) $$

求めた値を代入すると、

$$ \begin{aligned} -\frac{1}{2} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{4s^2 - 4s + 2} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\ -\frac{1}{2} &= -\frac{1}{2} \sqrt{4s^2 - 4s + 2} \end{aligned} $$

両辺を $-\frac{1}{2}$ で割ると、

$$ 1 = \sqrt{4s^2 - 4s + 2} $$

両辺を2乗して整理する。

$$ \begin{aligned} 1 &= 4s^2 - 4s + 2 \\ 4s^2 - 4s + 1 &= 0 \\ (2s - 1)^2 &= 0 \end{aligned} $$

これを解いて、$s = \frac{1}{2}$ を得る。

(3)

$|\vec{p} - \vec{q}|$ を最小化するため、その2乗を展開する。

$$ |\vec{p} - \vec{q}|^2 = |\vec{p}|^2 - 2\vec{p} \cdot \vec{q} + |\vec{q}|^2 $$

(1) で求めた式を代入する。

$$ \begin{aligned} |\vec{p} - \vec{q}|^2 &= (2t^2 - 2t + 1) - 2(-t) + (4s^2 - 4s + 2) \\ &= 2t^2 - 2t + 1 + 2t + 4s^2 - 4s + 2 \\ &= 2t^2 + 4s^2 - 4s + 3 \end{aligned} $$

$s, t$ は独立して動く実数であるから、それぞれの変数について平方完成を行う。

$$ \begin{aligned} |\vec{p} - \vec{q}|^2 &= 2t^2 + 4\left(s^2 - s\right) + 3 \\ &= 2t^2 + 4\left(s - \frac{1}{2}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 3 \\ &= 2t^2 + 4\left(s - \frac{1}{2}\right)^2 + 2 \end{aligned} $$

$t^2 \geqq 0$ かつ $\left(s - \frac{1}{2}\right)^2 \geqq 0$ であるから、この式は $t = 0$ かつ $s = \frac{1}{2}$ のとき最小値 $2$ をとる。

$|\vec{p} - \vec{q}| \geqq 0$ であるため、$|\vec{p} - \vec{q}|^2$ が最小のとき $|\vec{p} - \vec{q}|$ も最小となる。したがって、$|\vec{p} - \vec{q}|$ の最小値は $\sqrt{2}$ である。

解法2

(1)

ベクトル $\vec{p}$ と $\vec{q}$ の成分を $s, t$ を用いて直接表す。

$$ \begin{aligned} \vec{p} &= (1-t)\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) + t(0, 0, 1) \\ &= \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}(1-t), \frac{1}{2}(1-t), t\right) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \vec{q} &= (1-s)\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -1\right) + s\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -1\right) \\ &= \left(-\frac{1}{2}(1-s) + \frac{1}{2}s, -\frac{\sqrt{3}}{2}(1-s) + \frac{\sqrt{3}}{2}s, -(1-s) - s\right) \\ &= \left(s - \frac{1}{2}, \sqrt{3}\left(s - \frac{1}{2}\right), -1\right) \end{aligned} $$

これらを用いて、$|\vec{p}|, |\vec{q}|$ を計算する。

$$ \begin{aligned} |\vec{p}|^2 &= \left\{-\frac{\sqrt{3}}{2}(1-t)\right\}^2 + \left\{\frac{1}{2}(1-t)\right\}^2 + t^2 \\ &= \frac{3}{4}(1-t)^2 + \frac{1}{4}(1-t)^2 + t^2 \\ &= (1-t)^2 + t^2 \\ &= 2t^2 - 2t + 1 \end{aligned} $$

よって、$|\vec{p}| = \sqrt{2t^2 - 2t + 1}$。

$$ \begin{aligned} |\vec{q}|^2 &= \left(s - \frac{1}{2}\right)^2 + \left\{\sqrt{3}\left(s - \frac{1}{2}\right)\right\}^2 + (-1)^2 \\ &= \left(s - \frac{1}{2}\right)^2 + 3\left(s - \frac{1}{2}\right)^2 + 1 \\ &= 4\left(s - \frac{1}{2}\right)^2 + 1 \\ &= 4\left(s^2 - s + \frac{1}{4}\right) + 1 \\ &= 4s^2 - 4s + 2 \end{aligned} $$

よって、$|\vec{q}| = \sqrt{4s^2 - 4s + 2}$。

次に内積を計算する。

$$ \begin{aligned} \vec{p} \cdot \vec{q} &= \left\{-\frac{\sqrt{3}}{2}(1-t)\right\}\left(s - \frac{1}{2}\right) + \left\{\frac{1}{2}(1-t)\right\}\left\{\sqrt{3}\left(s - \frac{1}{2}\right)\right\} + t(-1) \\ &= -\frac{\sqrt{3}}{2}(1-t)\left(s - \frac{1}{2}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2}(1-t)\left(s - \frac{1}{2}\right) - t \\ &= -t \end{aligned} $$

(2) および (3) の解法は解法1と同様である。

解説

2つの直線のベクトル方程式について、なす角や距離を考察する標準的な問題である。

(1) においてベクトルの成分をそのまま代入して計算を進めることも可能（解法2）だが、設定されている4点 $A, B, C, D$ の座標をよく見ると、直交関係や対称性が仕込まれていることがわかる。解法1のように、あらかじめ基準となるベクトルの大きさと内積の値を洗い出しておくと、計算の負担を大幅に減らすことができる。特に、空間ベクトルにおいて複数の方程式を扱う場合は、計算ミスを防ぐためにこの「準備」が有効である。

(3) における $|\vec{p} - \vec{q}|$ は、直線 $AB$ 上の点と直線 $CD$ 上の点の距離を表している。したがって、(3) で求めた最小値は、空間内の2直線 $AB, CD$ 間の最短距離（共通垂線の長さ）を意味している。