トップ› 北海道大学› 2012年› 理系第2問

北海道大学 2012年理系第2問解説

方針・初手

$x = \sin \theta$ と置換し、$f(\theta)$ を $x$ の多項式として表す。与えられた $\theta$ の範囲から $x$ の定義域を求め、微積分を用いて関数の増減を調べる。方程式の実数解の個数は、グラフの交点の個数として視覚的に捉える。

解法1

(1)

2倍角の公式 $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ を用いる。

$x = \sin \theta$ であるから、$f(\theta)$ を $x$ で表すと以下のようになる。

$$ \begin{aligned} f(\theta) &= 4 (1 - 2\sin^2 \theta) \sin \theta + 3\sqrt{2} (1 - 2\sin^2 \theta) - 4\sin \theta \\ &= 4(1 - 2x^2)x + 3\sqrt{2}(1 - 2x^2) - 4x \\ &= 4x - 8x^3 + 3\sqrt{2} - 6\sqrt{2}x^2 - 4x \\ &= -8x^3 - 6\sqrt{2}x^2 + 3\sqrt{2} \end{aligned} $$

(2)

$-\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲において、$x = \sin \theta$ は単調に増加する。よって、$x$ のとり得る値の範囲は $-1 \leqq x \leqq 1$ である。

$g(x) = -8x^3 - 6\sqrt{2}x^2 + 3\sqrt{2}$ とおき、$-1 \leqq x \leqq 1$ における増減を調べる。

導関数 $g'(x)$ を求める。

$$ \begin{aligned} g'(x) &= -24x^2 - 12\sqrt{2}x \\ &= -12x(2x + \sqrt{2}) \end{aligned} $$

$g'(x) = 0$ とすると、$x = 0, -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となり、これらはともに区間 $-1 \leqq x \leqq 1$ に含まれる。

極値と区間の両端における $g(x)$ の値を計算する。

$$ \begin{aligned} g(-1) &= -8(-1)^3 - 6\sqrt{2}(-1)^2 + 3\sqrt{2} = 8 - 3\sqrt{2} \\ g\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) &= -8\left(-\frac{2\sqrt{2}}{8}\right) - 6\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}\right) + 3\sqrt{2} = 2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \\ g(0) &= 3\sqrt{2} \\ g(1) &= -8(1)^3 - 6\sqrt{2}(1)^2 + 3\sqrt{2} = -8 - 3\sqrt{2} \end{aligned} $$

ここで、$g(-1)$ と極大値 $g(0)$ の大小を比較する。

$$ g(0) - g(-1) = 3\sqrt{2} - (8 - 3\sqrt{2}) = 6\sqrt{2} - 8 = \sqrt{72} - \sqrt{64} > 0 $$

したがって、$g(-1) < g(0)$ である。また、明らかに $g(1) < g\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) < g(-1)$ が成り立つ。

以上から、増減表は次のようになる。

$x$	$-1$	$\cdots$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$1$
$g'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$g(x)$	$8-3\sqrt{2}$	$\searrow$	$2\sqrt{2}$	$\nearrow$	$3\sqrt{2}$	$\searrow$	$-8-3\sqrt{2}$

増減表より、最大値は $3\sqrt{2}$、最小値は $-8 - 3\sqrt{2}$ である。

そのときの $\theta$ の値を求める。 $x = 0$ のとき、$\sin \theta = 0$。$-\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ より $\theta = 0$。 $x = 1$ のとき、$\sin \theta = 1$。$-\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ より $\theta = \frac{\pi}{2}$。

(3)

$-\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲において、$\theta$ の値と $x = \sin \theta$ の値は1対1に対応する。したがって、方程式 $f(\theta) = k$ がこの範囲で相異なる3つの解をもつことは、$x$ の方程式 $g(x) = k$ が $-1 \leqq x \leqq 1$ の範囲で相異なる3つの実数解をもつことと同値である。

これは、$xy$ 平面上の曲線 $y = g(x)$ （$-1 \leqq x \leqq 1$）と直線 $y = k$ が異なる3つの交点をもつ条件に等しい。

(2)で求めた増減表より、曲線 $y = g(x)$ は

$x = -1$ のとき $y = 8 - 3\sqrt{2}$
$x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき極小値 $y = 2\sqrt{2}$
$x = 0$ のとき極大値 $y = 3\sqrt{2}$
$x = 1$ のとき $y = -8 - 3\sqrt{2}$

を通る。極小値、左端の点の $y$ 座標、極大値の大小関係は $2\sqrt{2} < 8 - 3\sqrt{2} < 3\sqrt{2}$ である。

直線 $y = k$ がこの曲線と3点で交わるのは、$k$ の値が極小値より大きく、左端の点の $y$ 座標以下のときである。左端の点 $x = -1$ も定義域に含まれるため、$k = 8 - 3\sqrt{2}$ のときも交点は3つ存在する。

したがって、求める実数 $k$ の範囲は以下のようになる。

$$ 2\sqrt{2} < k \leqq 8 - 3\sqrt{2} $$

解説

三角関数の置換によって、方程式の実数解の個数問題を3次関数のグラフの交点問題に帰着させる典型的な問題である。$\theta$ の定義域から $x$ と $\theta$ が1対1に対応することを確認し、単純に $x$ の方程式の解の個数を調べればよいという論理展開が重要となる。また、グラフの形状を正しく把握するために、極値だけでなく定義域の端点における関数値の大小関係も正確に比較する必要がある。