東北大学 1993年 理系 第6問 解説

方針・初手

2曲線の差を

$$ f(x)=\sin x-\frac{x}{4}\sin 2x $$

とおくと，

$$ f(x)=\sin x\left(1-\frac{x}{2}\cos x\right) $$

と因数分解できる。したがって，交点の $x$ 座標は $\sin x=0$ または $x\cos x=2$ によって与えられる。

まず $x\cos x=2$ の解 $a$ の位置を調べ，ついで $f(x)$ の符号を用いて面積 $S,T$ を積分で表す。その後，$S-T$ を直接計算して正であることを示す。

解法1

まず

$$ g(x)=x\cos x $$

とおく。

$0\le x\le 2\pi$ において，$g(x)=2$ の解はただ1つであることを確認しておく。

実際，$0\le x\le \pi$ では $g(x)\le x$ であるが，$0\le x\le \pi/2$ では $\tan x>x$ より

$$ x\cos x<\sin x\le 1 $$

であり，$\pi/2\le x\le \pi$ では $\cos x\le 0$ だから $g(x)\le 0$ である。したがって $0\le x\le \pi$ では $g(x)<2$ である。

また $\pi\le x\le 3\pi/2$ でも $\cos x\le 0$ より $g(x)\le 0<2$ である。

さらに $3\pi/2\le x\le 2\pi$ では

$$ g'(x)=\cos x-x\sin x $$

であり，この区間では $\cos x\ge 0,\ \sin x\le 0$ だから $g'(x)>0$ である。ゆえに $g$ は $[3\pi/2,2\pi]$ で単調増加する。しかも

$$ g!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0,\qquad g(2\pi)=2\pi>2 $$

より，方程式 $x\cos x=2$ は $[3\pi/2,2\pi]$ にただ1つの解 $a$ をもつ。

(1) $ \dfrac{3\pi}{2}<a<2\pi,\ \sqrt{a^2-4}\ge \dfrac45 a$ を示す

上で見たように，$g(3\pi/2)=0<2<2\pi=g(2\pi)$ かつ $g$ は $[3\pi/2,2\pi]$ で単調増加するから，

$$ \frac{3\pi}{2}<a<2\pi $$

である。

次に $\sqrt{a^2-4}\ge \dfrac45 a$ を示す。$a>0$ なので，これは両辺を2乗してよく，

$$ a^2-4\ge \frac{16}{25}a^2 $$

すなわち

$$ \frac{9}{25}a^2\ge 4 $$

と同値である。さらに

$$ a>\frac{3\pi}{2}> \frac{10}{3} $$

より

$$ a^2>\frac{100}{9} $$

であるから

$$ a^2-4>\frac{100}{9}-4=\frac{64}{9}=\frac{16}{25}\cdot\frac{100}{9}<\frac{16}{25}a^2. $$

したがって

$$ a^2-4\ge \frac{16}{25}a^2 $$

が成り立ち，

$$ \sqrt{a^2-4}\ge \frac45 a $$

を得る。

(2) $S>T$ を示す

2曲線の交点は

$$ \sin x=\frac{x}{4}\sin 2x $$

すなわち

$$ \sin x\left(1-\frac{x}{2}\cos x\right)=0 $$

より与えられる。したがって $x=0,\pi,2\pi$ に加え，$x\cos x=2$ の解 $a$ が交点の $x$ 座標である。

ここで

$$ f(x)=\sin x-\frac{x}{4}\sin 2x=\sin x\left(1-\frac{x}{2}\cos x\right) $$

の符号を調べる。

(i) $0<x<\pi$ のとき

$0<x\le \pi/2$ では先ほどと同様に $x\cos x<1$ だから

$$ 1-\frac{x}{2}\cos x>1-\frac12=\frac12>0. $$

また $\pi/2\le x<\pi$ では $\cos x\le 0$ より

$$ 1-\frac{x}{2}\cos x>0. $$

しかもこの区間では $\sin x>0$ なので

$$ f(x)>0\qquad (0<x<\pi) $$

である。

(ii) $\pi<x<a$ のとき

$\pi<x\le 3\pi/2$ では $\cos x\le 0$ より $x\cos x<2$ は明らかである。

また $3\pi/2\le x<a$ では，$g(x)=x\cos x$ は単調増加で $g(a)=2$ だから

$$ x\cos x<2. $$

よって $\pi<x<a$ で常に

$$ 1-\frac{x}{2}\cos x>0 $$

であり，一方 $\sin x<0$ だから

$$ f(x)<0\qquad (\pi<x<a) $$

である。

したがって

$$ S=\int_0^\pi f(x),dx,\qquad T=-\int_\pi^a f(x),dx $$

であり，

$$ S-T=\int_0^a f(x),dx $$

となる。

ここで

$$ \int \left(\sin x-\frac{x}{4}\sin 2x\right),dx ============================================== -\cos x+\frac{x}{8}\cos 2x-\frac{1}{16}\sin 2x $$

であるから，

$$ S-T === \left[-\cos x+\frac{x}{8}\cos 2x-\frac{1}{16}\sin 2x\right]_0^a. $$

よって

$$ S-T === 1-\cos a+\frac{a}{8}\cos 2a-\frac{1}{16}\sin 2a. $$

ここで $a\cos a=2$ より

$$ \cos a=\frac{2}{a}, \qquad \cos 2a=2\cos^2 a-1=\frac{8}{a^2}-1, \qquad \sin 2a=2\sin a\cos a=\frac{4}{a}\sin a $$

であるから，

$$ \begin{aligned} S-T &= 1-\frac{2}{a}+\frac{a}{8}\left(\frac{8}{a^2}-1\right)-\frac{1}{16}\cdot\frac{4}{a}\sin a \ &= 1-\frac{1}{a}-\frac{a}{8}-\frac{\sin a}{4a}. \end{aligned} $$

さらに $a\in(3\pi/2,2\pi)$ なので $\sin a<0$ であり，

$$ -\sin a=\sqrt{1-\cos^2 a} ========================= # \sqrt{1-\frac{4}{a^2}} \frac{\sqrt{a^2-4}}{a}. $$

したがって

$$ -\frac{\sin a}{4a}=\frac{\sqrt{a^2-4}}{4a^2}. $$

(1) より $\sqrt{a^2-4}\ge \dfrac45 a$ だから，

$$ -\frac{\sin a}{4a}\ge \frac{1}{5a}. $$

よって

$$ S-T \ge 1-\frac{1}{a}-\frac{a}{8}+\frac{1}{5a} ====================================== 1-\frac{4}{5a}-\frac{a}{8}. $$

ここで

$$ \phi(x)=\frac{4}{5x}+\frac{x}{8} $$

とおくと，

$$ \phi'(x)=-\frac{4}{5x^2}+\frac18. $$

$x\ge 3\pi/2>4$ では $\phi'(x)>0$ であるから，$\phi$ は $[3\pi/2,2\pi]$ で増加する。したがって

$$ \frac{4}{5a}+\frac{a}{8}<\frac{2}{5\pi}+\frac{\pi}{4}. $$

さらに $3<\pi<\dfrac{22}{7}$ より

$$ \frac{2}{5\pi}+\frac{\pi}{4} < \frac{2}{15}+\frac{11}{14} ========================== \frac{193}{210} <1. $$

ゆえに

$$ 1-\frac{4}{5a}-\frac{a}{8}>0 $$

であり，したがって

$$ S-T>0. $$

よって

$$ S>T $$

が示された。

解説

交点条件を

$$ \sin x=\frac{x}{4}\sin 2x \quad\Longleftrightarrow\quad \sin x\left(1-\frac{x}{2}\cos x\right)=0 $$

と変形するのが本問の核心である。これにより，交点の問題が $x\cos x=2$ の解の位置の問題に帰着する。

また面積比較では $S,T$ を個別に求めるより，

$$ S-T=\int_0^a\left(\sin x-\frac{x}{4}\sin 2x\right),dx $$

とまとめて処理すると見通しがよい。最後に (1) の評価

$$ \frac{3\pi}{2}<a<2\pi,\qquad \sqrt{a^2-4}\ge \frac45 a $$

を使って下から押さえることで，$S-T>0$ が自然に導かれる。

答え

$$ \frac{3\pi}{2}<a<2\pi,\qquad \sqrt{a^2-4}\ge \frac45 a $$

が成り立つ。

また，$0\le x\le \pi$ に対応する部分の面積を $S$，$\pi\le x\le a$ に対応する部分の面積を $T$ とすると，

$$ S>T $$

である。