北海道大学 2013年 理系 第2問 解説

方針・初手

直線に関する対称移動、および原点中心の回転移動を、一次変換の行列を用いて表現する問題である。 (1) では基本的な対称移動・回転移動の行列を求める。(2) では、直線の傾き $c$ を正接（$\tan$）を用いて角で表すか、法線ベクトルなどを利用して行列を構成する。(3) では求めた行列の積を計算し、与えられた回転行列と各成分を比較して未知数 $c$ に関する方程式を解く。 また、対称移動を2回合成すると回転移動になるという幾何的な性質を利用すると、計算量を大幅に減らすことができるため、これを解法2として示す。

解法1

(1)

点 $(x, y)$ を直線 $y=x$ に関して対称移動した点を $(X, Y)$ とすると、対称性から $X=y, Y=x$ となる。 これを文字の行列を用いて表すと、

$$ \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

となるため、$f$ を表す行列は、

$$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

である。 また、原点を中心とする $120^\circ$ の回転移動 $h$ を表す行列は、

$$ \begin{pmatrix} \cos 120^\circ & -\sin 120^\circ \\ \sin 120^\circ & \cos 120^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} $$

である。

(2)

直線 $y=cx$ が $x$ 軸の正の方向となす角を $\theta$ とおくと、$\tan\theta = c$ である。 原点を通り $x$ 軸となす角が $\theta$ の直線に関する対称移動を表す行列は、一般に次のように表される。

$$ \begin{pmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{pmatrix} $$

ここで、各成分を $\tan\theta = c$ を用いて表す。

$$ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = \frac{\cos^2\theta - \sin^2\theta}{\cos^2\theta + \sin^2\theta} = \frac{1 - \tan^2\theta}{1 + \tan^2\theta} = \frac{1 - c^2}{1 + c^2} $$

$$ \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\cos^2\theta + \sin^2\theta} = \frac{2\tan\theta}{1 + \tan^2\theta} = \frac{2c}{1 + c^2} $$

これらを代入すると、$g$ を表す行列は、

$$ \frac{1}{1+c^2} \begin{pmatrix} 1-c^2 & 2c \\ 2c & c^2-1 \end{pmatrix} $$

である。

(3)

合成変換 $f \circ g$ を表す行列は、(1)と(2)で求めた行列の積で表される。

$$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \frac{1}{1+c^2} \begin{pmatrix} 1-c^2 & 2c \\ 2c & c^2-1 \end{pmatrix} = \frac{1}{1+c^2} \begin{pmatrix} 2c & c^2-1 \\ 1-c^2 & 2c \end{pmatrix} $$

この合成変換が $h$ と一致するためには、行列の各成分が一致することが必要十分である。

$$ \frac{1}{1+c^2} \begin{pmatrix} 2c & c^2-1 \\ 1-c^2 & 2c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} $$

各成分を比較して、以下の2つの方程式を得る。

$$ \frac{2c}{1+c^2} = -\frac{1}{2} \quad \cdots \text{①} $$

$$ \frac{1-c^2}{1+c^2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \cdots \text{②} $$

①の分母を払って整理する。

$$ 4c = -(1+c^2) $$

$$ c^2 + 4c + 1 = 0 $$

これを解いて、

$$ c = -2 \pm \sqrt{3} $$

得られた $c$ の値が②を満たすか確認する。

(ア) $c = -2 + \sqrt{3}$ のとき

$$ c^2 = (-2+\sqrt{3})^2 = 7 - 4\sqrt{3} $$

これを②の左辺に代入すると、

$$ \frac{1 - (7 - 4\sqrt{3})}{1 + (7 - 4\sqrt{3})} = \frac{-6 + 4\sqrt{3}}{8 - 4\sqrt{3}} = \frac{-3 + 2\sqrt{3}}{4 - 2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(-\sqrt{3} + 2)}{2(2 - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

となり、②を満たす。

(イ) $c = -2 - \sqrt{3}$ のとき

$$ c^2 = (-2-\sqrt{3})^2 = 7 + 4\sqrt{3} $$

これを②の左辺に代入すると、

$$ \frac{1 - (7 + 4\sqrt{3})}{1 + (7 + 4\sqrt{3})} = \frac{-6 - 4\sqrt{3}}{8 + 4\sqrt{3}} = \frac{-3 - 2\sqrt{3}}{4 + 2\sqrt{3}} = \frac{-\sqrt{3}(\sqrt{3} + 2)}{2(2 + \sqrt{3})} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$

となり、②の右辺と一致せず不適である。

以上より、求める $c$ の値は $c = -2 + \sqrt{3}$ である。

解法2

(1)

直線 $y=x$ は原点を通り $x$ 軸の正の方向となす角が $45^\circ$ の直線である。 一般に、なす角が $\theta$ の直線に関する対称移動を表す行列は $\begin{pmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{pmatrix}$ と表されるため、$f$ を表す行列は、

$$ \begin{pmatrix} \cos 90^\circ & \sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & -\cos 90^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

原点を中心とする $120^\circ$ の回転移動 $h$ を表す行列は、

$$ \begin{pmatrix} \cos 120^\circ & -\sin 120^\circ \\ \sin 120^\circ & \cos 120^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} $$

(2)

直線 $y=cx$ が $x$ 軸の正の方向となす角を $\alpha$ とおく（$\tan\alpha = c$）。 (1)と同様に、$g$ を表す行列は、

$$ \begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix} $$

ここで、解法1と同様に $\cos 2\alpha = \frac{1-c^2}{1+c^2}, \sin 2\alpha = \frac{2c}{1+c^2}$ と表せるため、

$$ \frac{1}{1+c^2} \begin{pmatrix} 1-c^2 & 2c \\ 2c & c^2-1 \end{pmatrix} $$

(3)

合成変換 $f \circ g$ を表す行列は、

$$ \begin{pmatrix} \cos 90^\circ & \sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & -\cos 90^\circ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix} $$

行列の積を計算し、三角関数の加法定理（または積和の公式）を用いると、

$$ \begin{aligned} &\begin{pmatrix} \cos 90^\circ \cos 2\alpha + \sin 90^\circ \sin 2\alpha & \cos 90^\circ \sin 2\alpha - \sin 90^\circ \cos 2\alpha \\ \sin 90^\circ \cos 2\alpha - \cos 90^\circ \sin 2\alpha & \sin 90^\circ \sin 2\alpha + \cos 90^\circ \cos 2\alpha \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos(90^\circ - 2\alpha) & -\sin(90^\circ - 2\alpha) \\ \sin(90^\circ - 2\alpha) & \cos(90^\circ - 2\alpha) \end{pmatrix} \end{aligned} $$

これは、原点を中心とする角 $90^\circ - 2\alpha$ の回転移動を表す。 これが $h$（角 $120^\circ$ の回転移動）と等しくなるため、整数 $n$ を用いて次のように表せる。

$$ 90^\circ - 2\alpha = 120^\circ + 360^\circ \times n $$

$$ -2\alpha = 30^\circ + 360^\circ \times n $$

$$ \alpha = -15^\circ - 180^\circ \times n $$

$c = \tan\alpha$ であり、正接関数の周期は $180^\circ$ であるから、

$$ c = \tan(-15^\circ) = -\tan 15^\circ $$

加法定理を用いて $\tan 15^\circ$ の値を計算する。

$$ \tan 15^\circ = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ - \tan 30^\circ}{1 + \tan 45^\circ \tan 30^\circ} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{3-1} = 2-\sqrt{3} $$

したがって、求める $c$ の値は、

$$ c = -(2-\sqrt{3}) = -2+\sqrt{3} $$

解説

一次変換と行列の標準的な問題である。直線 $y=x$ に関する対称移動は、座標 $(x,y)$ が $(y,x)$ になるという基本的な性質からすぐに導けるようにしておきたい。 任意の直線 $y=(\tan\theta)x$ に関する対称移動の行列は頻出であり、公式として記憶しておくか、単位ベクトル $(1,0), (0,1)$ の行先を図形的に考察して素早く導けるようにしておく必要がある。 本問では、解法2で示したように「2つの直線に関する対称移動の合成は、その2直線の交点を中心とする回転移動になる」という幾何学的な性質を知っていると、(3) で煩雑な成分比較を行わずに角度の計算だけで完答できるため、計算ミスを防ぐ強力な武器となる。この回転角は「最初に折り返す直線から、次に折り返す直線へ測った角の2倍」になることも覚えておくとよい。

答え

(1) $f$ を表す行列：$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $h$ を表す行列：$\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$

(2) $\frac{1}{1+c^2} \begin{pmatrix} 1-c^2 & 2c \\ 2c & c^2-1 \end{pmatrix}$

(3) $c = -2 + \sqrt{3}$