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北海道大学 1996年文系第1問解説

方針・初手

方程式 $f(x) = 0$ が重複解 $\alpha$ をもつ条件を立式する。 $f(x)$ を微分してグラフの形状から極値と重解の関係を考えるか、あるいは3次方程式の解と係数の関係を用いて $\alpha, \alpha, \beta$ を解にもつとして係数比較を行うかの2つの方針が考えられる。面積の計算においては、定積分を計算する際に $(x-\alpha)^n(x-\beta)$ の形を作る工夫や積分公式を用いると計算量が削減できる。

解法1

(1)

$f(x) = x^3 - 3p^2x + q$ を $x$ で微分すると、

$$ f'(x) = 3x^2 - 3p^2 = 3(x - p)(x + p) $$

$f'(x) = 0$ とすると、$x = \pm p$ である。 $p > 0$ より $-p < p$ であるから、$f(x)$ は $x = -p$ で極大、$x = p$ で極小となる。

3次方程式 $f(x) = 0$ が実数の重複解 $\alpha$ と、それと異なる実数解 $\beta$ をもつのは、$y = f(x)$ のグラフが $x$ 軸と接するときである。すなわち、極大値または極小値が $0$ になる。

$\alpha < \beta$ であり、$\alpha$ が重複解（接点の $x$ 座標）であるため、グラフの位置関係から接点は極大点である必要がある。（もし極小値が $0$ ならば、接点の $x$ 座標は交点の $x$ 座標よりも大きくなってしまうため不適である）

よって、極大値 $f(-p) = 0$ であり、このとき $\alpha = -p$ となる。

$$ f(-p) = (-p)^3 - 3p^2(-p) + q = 2p^3 + q = 0 $$

これより、

$$ q = -2p^3 $$

このとき、$f(x)$ は次のように因数分解できる。

$$ \begin{aligned} f(x) &= x^3 - 3p^2x - 2p^3 \\ &= (x + p)^2(x - 2p) \end{aligned} $$

$f(x) = 0$ の解は $x = -p, 2p$ であり、$-p$ が重解となる。 $p > 0$ より $-p < 2p$ であるから、$\alpha < \beta$ の条件も満たす。したがって、

$$ \alpha = -p, \beta = 2p $$

(2)

(1) の結果より、$\alpha \leqq x \leqq \beta$ すなわち $-p \leqq x \leqq 2p$ において、$f(x) = (x + p)^2(x - 2p)$ である。この区間では $(x + p)^2 \geqq 0$ かつ $x - 2p \leqq 0$ であるから、$f(x) \leqq 0$ となる。

求める面積を $S$ とおくと、

$$ S = \int_{-p}^{2p} \{0 - f(x)\} dx = -\int_{-p}^{2p} (x + p)^2(x - 2p) dx $$

被積分関数を変形して積分する。

$$ \begin{aligned} S &= -\int_{-p}^{2p} (x + p)^2 \{ (x + p) - 3p \} dx \\ &= -\int_{-p}^{2p} \{ (x + p)^3 - 3p(x + p)^2 \} dx \\ &= -\left[ \frac{1}{4}(x + p)^4 - p(x + p)^3 \right]_{-p}^{2p} \\ &= -\left( \frac{1}{4}(3p)^4 - p(3p)^3 \right) + (0 - 0) \\ &= -\left( \frac{81}{4}p^4 - 27p^4 \right) \\ &= \frac{27}{4}p^4 \end{aligned} $$

条件より $S = 2p$ であるから、

$$ \frac{27}{4}p^4 = 2p $$

$p > 0$ であるから、両辺を $p$ で割って整理すると、

$$ p^3 = \frac{8}{27} $$

$p$ は実数であるから、

$$ p = \frac{2}{3} $$

解法2

(1)

方程式 $f(x) = 0$、すなわち $x^3 - 3p^2x + q = 0$ の解が $\alpha, \alpha, \beta$ であるとする。 3次方程式の解と係数の関係より、以下の3式が成り立つ。

$$ \begin{cases} \alpha + \alpha + \beta = 0 \\ \alpha \cdot \alpha + \alpha \cdot \beta + \beta \cdot \alpha = -3p^2 \\ \alpha \cdot \alpha \cdot \beta = -q \end{cases} $$

これらを整理すると、

$$ \begin{cases} \beta = -2\alpha \\ \alpha^2 + 2\alpha\beta = -3p^2 \\ \alpha^2\beta = -q \end{cases} $$

第1式を第2式に代入する。

$$ \alpha^2 + 2\alpha(-2\alpha) = -3p^2 $$

$$ -3\alpha^2 = -3p^2 $$

$$ \alpha^2 = p^2 $$

$p > 0$ より、$\alpha = \pm p$ である。 $\alpha < \beta$ と $\beta = -2\alpha$ より、$\alpha < -2\alpha$ すなわち $3\alpha < 0$ となり、$\alpha < 0$ でなければならない。したがって、

$$ \alpha = -p $$

これを他の式に代入して、

$$ \beta = -2(-p) = 2p $$

$$ q = -(-p)^2 \cdot (2p) = -2p^3 $$

$-p < 2p$ は $p > 0$ より成り立ち、条件を満たす。

(2)

解法1と同様に被積分関数が $f(x) = (x - \alpha)^2(x - \beta)$ と表せることを用いて面積を計算する。積分公式 $\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)^2 (x - \beta) dx = -\frac{1}{12}(\beta - \alpha)^4$ を用いる。

求める面積 $S$ は、区間 $\alpha \leqq x \leqq \beta$ で $f(x) \leqq 0$ であることに注意して、

$$ S = -\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)^2(x - \beta) dx = \frac{1}{12}(\beta - \alpha)^4 $$

$\alpha = -p, \beta = 2p$ を代入する。

$$ S = \frac{1}{12} \{ 2p - (-p) \}^4 = \frac{1}{12}(3p)^4 = \frac{81}{12}p^4 = \frac{27}{4}p^4 $$

$S = 2p$ より、

$$ \frac{27}{4}p^4 = 2p $$

$p > 0$ であるから両辺を $p$ で割り、

$$ p^3 = \frac{8}{27} $$

$p$ は実数であるため、

$$ p = \frac{2}{3} $$

解説

(1) は3次関数のグラフと $x$ 軸の接条件を考える典型問題である。微積分の観点からは極値との関係で捉える手法（解法1）、代数の観点からは解と係数の関係を利用する手法（解法2）があり、どちらもよく使われる。解法2の方が微分を介さない分、計算量が少なく符号のミスも起きにくい。

(2) は定積分の計算を工夫できるかが問われている。$\int (x - \alpha)^2(x - \beta) dx$ の形の積分は、$(x - \alpha)$ の塊を作って展開するか、いわゆる1/12公式を知っていれば直接計算可能である。そのまま展開して積分すると計算ミスを誘発しやすいため、塊を作る計算手法を身につけておきたい。