北海道大学 2003年 文系 第2問 解説

方針・初手

$f(x)$ を微分して得られる $f'(x)$ を、与えられた2つの定積分の式に代入し、具体的な計算を実行します。計算結果から $p$ と $q$ についての連立1次方程式が導かれるので、その連立方程式が実数解を持つための条件を考えます。

解法1

$f(x) = ax^2 + bx + c$ を微分すると

$$ f'(x) = 2ax + b $$

である。これを $f'(x)(px+q)$ に代入して展開すると

$$ \begin{aligned} f'(x)(px+q) &= (2ax + b)(px+q) \\ &= 2apx^2 + (2aq + bp)x + bq \end{aligned} $$

となる。次に、2つの定積分を計算する。 まず、第2の等式について考える。積分区間が $[-1, 1]$ であることから、奇関数の定積分は $0$ になること、偶関数の定積分は区間 $[0, 1]$ の $2$ 倍になることを利用する。

$$ \begin{aligned} \int_{-1}^1 f'(x)(px+q) dx &= \int_{-1}^1 \{ 2apx^2 + (2aq + bp)x + bq \} dx \\ &= 2 \int_0^1 (2apx^2 + bq) dx \\ &= 2 \left[ \frac{2ap}{3}x^3 + bqx \right]_0^1 \\ &= 2 \left( \frac{2ap}{3} + bq \right) \\ &= \frac{4ap}{3} + 2bq \end{aligned} $$

問題の条件より、これが $0$ に等しいので

$$ \frac{4ap}{3} + 2bq = 0 $$

両辺に $\frac{3}{2}$ を掛けて整理すると

$$ 2ap + 3bq = 0 \quad \cdots \text{(1)} $$

を得る。次に、第1の等式を計算する。

$$ \begin{aligned} \int_0^1 f'(x)(px+q) dx &= \int_0^1 \{ 2apx^2 + (2aq + bp)x + bq \} dx \\ &= \left[ \frac{2ap}{3}x^3 + \frac{2aq + bp}{2}x^2 + bqx \right]_0^1 \\ &= \frac{2ap}{3} + \frac{2aq + bp}{2} + bq \end{aligned} $$

問題の条件より、これが $\frac{1}{2}$ に等しいので

$$ \frac{2ap}{3} + \frac{2aq + bp}{2} + bq = \frac{1}{2} $$

両辺に $6$ を掛けて整理すると

$$ 4ap + 3(2aq + bp) + 6bq = 3 $$

$$ 4ap + 6aq + 3bp + 6bq = 3 $$

ここで、式 (1) を用いて $2ap + 3bq = 0$ を代入したい。上の式を以下のように変形する。

$$ 2(2ap + 3bq) + 3bp + 6aq = 3 $$

式 (1) より第1項は $0$ になるため

$$ 3bp + 6aq = 3 $$

両辺を $3$ で割ると

$$ bp + 2aq = 1 \quad \cdots \text{(2)} $$

を得る。式 (1) と (2) を $p$ と $q$ についての連立方程式として扱う。

$$ \begin{cases} bp + 2aq = 1 \\ 2ap + 3bq = 0 \end{cases} $$

(2) $\times 3b$ $-$ (1) $\times 2a$ を計算して $q$ を消去すると

$$ (3b^2)p + 6abq - (4a^2)p - 6abq = 3b $$

$$ (3b^2 - 4a^2)p = 3b \quad \cdots \text{(3)} $$

(1) $\times b$ $-$ (2) $\times 2a$ を計算して $p$ を消去すると

$$ 2abp + 3b^2q - (2abp + 4a^2q) = -2a $$

$$ (3b^2 - 4a^2)q = -2a \quad \cdots \text{(4)} $$

この連立方程式が実数解 $p, q$ を持つための条件を考える。 $3b^2 - 4a^2 \neq 0$ のとき、式 (3), (4) は一意な解を持つ。

$$ p = \frac{3b}{3b^2 - 4a^2}, \quad q = \frac{-2a}{3b^2 - 4a^2} $$

$3b^2 - 4a^2 = 0$ のとき、式 (3), (4) の左辺は $0$ となるため、解を持つには右辺も $0$ でなければならない。つまり $3b = 0$ かつ $-2a = 0$ であるから、$a = 0$ かつ $b = 0$ となる。 しかし、$a = 0, b = 0$ は $3b^2 - 4a^2 = 0$ を満たすが、これを元の式 (2) に代入すると $0 = 1$ となり矛盾する。したがって、この場合は解が存在しない。

以上より、$p, q$ が存在するための条件は $3b^2 - 4a^2 \neq 0$ （すなわち $4a^2 - 3b^2 \neq 0$）である。 また、計算の過程で $c$ は現れないため、$c$ に対する制約はなく、任意の実数でよい。

解説

定積分の計算から得られる $p, q$ に関する連立1次方程式が、実数解を持つ条件を調べる問題です。 被積分関数に $f'(x)$ が含まれているため、定数項 $c$ は微分によって消去され、積分の結果には影響を与えません。したがって、$c$ は条件式に含まれません。 $p$ と $q$ の連立方程式は、行列を用いて以下のように表すこともできます。

$$ \begin{pmatrix} b & 2a \\ 2a & 3b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$

これが解を持つ条件は、係数行列の行列式が $0$ でないこと、すなわち $3b^2 - 4a^2 \neq 0$ となります。行列式が $0$ になる場合の例外的な解（不定・不能）の有無を式に立ち返ってしっかり確認することが重要です。

答え

$a, b, c$ の条件： $4a^2 - 3b^2 \neq 0$ かつ $c$ は任意の実数

そのときの $p, q$ ：

$$ p = \frac{3b}{3b^2 - 4a^2}, \quad q = \frac{-2a}{3b^2 - 4a^2} $$