トップ› 東京工業大学› 1993年› 理系第3問

東京工業大学 1993年理系第3問解説

方針・初手

点 $P$ における接線の方程式を求め、曲線 $C$ の方程式と連立する。接点 $P$ の $x$ 座標が $t$ であるため、連立して得られる4次方程式は $(x-t)^2$ を因数に持つことを利用し、残りの交点 $Q, R$ の $x$ 座標 $\alpha, \beta$ に関する2次方程式を導く。そこから解と係数の関係を用いて立式し、線分長は2点間の距離の公式と傾きを用いて計算する。

解法1

(1)

$f(x) = x^4 - 2ax^2$ とおく。

$$ f'(x) = 4x^3 - 4ax $$

点 $P(t, t^4 - 2at^2)$ における接線 $l$ の方程式は、

$$ y - (t^4 - 2at^2) = (4t^3 - 4at)(x - t) $$

整理して、

$$ y = 4t(t^2 - a)x - 3t^4 + 2at^2 $$

曲線 $C$ と接線 $l$ の交点の $x$ 座標は、次の方程式の解である。

$$ x^4 - 2ax^2 = 4t(t^2 - a)x - 3t^4 + 2at^2 $$

$$ x^4 - 2ax^2 - 4t(t^2 - a)x + 3t^4 - 2at^2 = 0 $$

$x = t$ で接するため、左辺は $(x-t)^2$ で割り切れる。左辺を因数分解すると、

$$ (x-t)^2 (x^2 + 2tx + 3t^2 - 2a) = 0 $$

点 $Q, R$ の $x$ 座標 $\alpha, \beta$ は、2次方程式 $x^2 + 2tx + 3t^2 - 2a = 0$ の解である。解と係数の関係より、

$$ \alpha + \beta = -2t $$

$$ \alpha\beta = 3t^2 - 2a $$

(2)

直線 $l$ は関数であるから、直線上の点 $Q, P, R$ の並び順は、それぞれの $x$ 座標 $\alpha, t, \beta$ の大小関係と一致する。 3点 $P, Q, R$ が相異なる点として $Q, P, R$ の順に並ぶ条件は、$\alpha < t < \beta$ である。 $g(x) = x^2 + 2tx + 3t^2 - 2a$ とおくと、$\alpha, \beta$ は $g(x) = 0$ の2解であるから、$\alpha < t < \beta$ となる条件は $g(t) < 0$ である。

$$ g(t) = t^2 + 2t^2 + 3t^2 - 2a = 6t^2 - 2a < 0 $$

$$ t^2 < \frac{a}{3} $$

$a > 0$ より、求める条件は

$$ -\sqrt{\frac{a}{3}} < t < \sqrt{\frac{a}{3}} $$

(3)

直線 $l$ の傾きを $m = 4t(t^2 - a)$ とおく。点 $Q(\alpha, m\alpha + n)$、点 $R(\beta, m\beta + n)$ の2点間の距離の2乗 $L^2$ は、

$$ L^2 = (\beta - \alpha)^2 + (m\beta - m\alpha)^2 = (\beta - \alpha)^2 (1 + m^2) $$

ここで、（1）の結果より

$$ \begin{aligned} (\beta - \alpha)^2 &= (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta \\ &= (-2t)^2 - 4(3t^2 - 2a) \\ &= 4t^2 - 12t^2 + 8a \\ &= 8(a - t^2) \end{aligned} $$

したがって、

$$ L^2 = 8(a - t^2) \{ 1 + 16t^2(t^2 - a)^2 \} $$

(4)

$a = \frac{7}{12}$ のとき、

$$ L^2 = 8\left(\frac{7}{12} - t^2\right) \left\{ 1 + 16t^2\left(t^2 - \frac{7}{12}\right)^2 \right\} $$

$u = \frac{7}{12} - t^2$ とおくと、条件 $-\sqrt{\frac{7}{12}} \leqq t \leqq \sqrt{\frac{7}{12}}$ より $0 \leqq u \leqq \frac{7}{12}$ である。このとき $t^2 = \frac{7}{12} - u$ であり、

$$ t^2\left(t^2 - \frac{7}{12}\right)^2 = \left(\frac{7}{12} - u\right)(-u)^2 = \frac{7}{12}u^2 - u^3 $$

これを代入し、$L^2$ を $u$ の関数 $h(u)$ とおくと、

$$ h(u) = 8u \left\{ 1 + 16\left(\frac{7}{12}u^2 - u^3\right) \right\} = 8u + 128\left(\frac{7}{12}u^3 - u^4\right) $$

$u$ について微分すると、

$$ \begin{aligned} h'(u) &= 8 + 128\left(\frac{7}{4}u^2 - 4u^3\right) \\ &= 8 + 224u^2 - 512u^3 \\ &= -8(64u^3 - 28u^2 - 1) \end{aligned} $$

$64u^3 - 28u^2 - 1 = 0$ は $u = \frac{1}{2}$ を解に持つため、因数定理を用いて因数分解する。

$$ \begin{aligned} h'(u) &= -8\left(u - \frac{1}{2}\right)(64u^2 + 4u + 2) \\ &= -16(2u - 1)(32u^2 + 2u + 1) \end{aligned} $$

$0 \leqq u \leqq \frac{7}{12}$ の範囲において $32u^2 + 2u + 1 > 0$ であるため、$h'(u) = 0$ となるのは $u = \frac{1}{2}$ のときのみである。増減を調べると、$0 \leqq u < \frac{1}{2}$ で $h'(u) > 0$、$u > \frac{1}{2}$ で $h'(u) < 0$ となり、$h(u)$ は $u = \frac{1}{2}$ で極大かつ最大となる。

最大値は、

$$ \begin{aligned} h\left(\frac{1}{2}\right) &= 8 \cdot \frac{1}{2} \left\{ 1 + 16\left( \frac{7}{12} \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{8} \right) \right\} \\ &= 4 \left\{ 1 + 16\left( \frac{7}{48} - \frac{6}{48} \right) \right\} \\ &= 4 \left( 1 + 16 \cdot \frac{1}{48} \right) \\ &= 4 \left( 1 + \frac{1}{3} \right) = \frac{16}{3} \end{aligned} $$

$L > 0$ より、$L$ の最大値は $\sqrt{\frac{16}{3}}$ である。

$$ L = \frac{4\sqrt{3}}{3} $$

解説

微積分と方程式の理論を組み合わせた標準的な問題である。（1）では、4次関数と接線の交点という設定から、差の関数が $(x-t)^2$ を因数に持つことを利用する定石が有効である。実際に4次方程式を解こうとするのではなく、因数分解により残りの2解を二次方程式に帰着させる。（2）の「3点が順になる条件」は、共有点が重なる（重解を持つ）場合を許容するかどうかで等号の有無が分かれる。ここでは一般的な「3つの異なる点が順に並ぶ」という解釈に基づき、等号を含めない厳密な不等号を用いる（等号を含めて $-\sqrt{\frac{a}{3}} \leqq t \leqq \sqrt{\frac{a}{3}}$ としても間違いとは言い切れない）。（4）では、式が複雑になるため適切な置き換え（$u = \frac{7}{12} - t^2$ など）を行うことで計算の負担を大きく減らすことができる。