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北海道大学 2019年文系第4問解説

方針・初手

(1) については、$g(x)$ を $1$ 次関数として $g(x) = px + q$ （$p \neq 0$）とおき、与えられた等式に $f(x)$ と $f'(x)$ を代入して、両辺の係数比較を行う「恒等式の問題」として処理する。

(2) については、$3$ 次方程式 $f(x) = 0$ が異なる $3$ 個の実数解をもつための条件「（極大値）$\times$（極小値）$< 0$」を用いる。極値を計算する際、(1) で登場した等式 $f(x) = f'(x)g(x) - 6x$ を利用すると計算を大幅に簡略化できる。

解法1

(1)

$g(x)$ は $1$ 次関数であるから、$p \neq 0$ なる実数 $p, q$ を用いて $g(x) = px + q$ とおける。

$$f(x) = x^3 - 3ax^2 + bx + c$$

$$f'(x) = 3x^2 - 6ax + b$$

これらを等式 $f(x) = f'(x)g(x) - 6x$ に代入する。

$$x^3 - 3ax^2 + bx + c = (3x^2 - 6ax + b)(px + q) - 6x$$

右辺を展開して $x$ について整理する。

$$x^3 - 3ax^2 + bx + c = 3px^3 + (3q - 6ap)x^2 + (bp - 6aq - 6)x + bq$$

この等式がすべての $x$ について成り立つための条件は、両辺の各次数の係数が等しいことである。

$$ \begin{cases} 1 = 3p \\ -3a = 3q - 6ap \\ b = bp - 6aq - 6 \\ c = bq \end{cases} $$

第 $1$ 式より、

$$p = \frac{1}{3}$$

となり、これは $p \neq 0$ を満たす。

これを第 $2$ 式に代入して整理する。

$$-3a = 3q - 2a$$

$$q = -\frac{a}{3}$$

$p, q$ の値を第 $3$ 式に代入して $b$ を求める。

$$b = \frac{1}{3}b - 6a \left( -\frac{a}{3} \right) - 6$$

$$\frac{2}{3}b = 2a^2 - 6$$

$$b = 3a^2 - 9$$

最後に、第 $4$ 式から $c$ を求める。

$$c = (3a^2 - 9) \left( -\frac{a}{3} \right)$$

$$c = -a^3 + 3a$$

以上より、$b = 3a^2 - 9$、$c = -a^3 + 3a$ である。

(2)

(1) の結果より、導関数 $f'(x)$ は次のようになる。

$$f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3a^2 - 9$$

$$f'(x) = 3(x^2 - 2ax + a^2 - 3)$$

$$f'(x) = 3\{(x - a)^2 - 3\}$$

$f'(x) = 0$ とすると、$(x - a)^2 = 3$ より、

$$x = a \pm \sqrt{3}$$

となり、常に異なる $2$ つの実数解をもつ。

したがって、$f(x)$ は $x = a - \sqrt{3}$ で極大値、$x = a + \sqrt{3}$ で極小値をもつ。

$3$ 次方程式 $f(x) = 0$ が異なる $3$ 個の実数解をもつための条件は、極値が異符号となること、すなわち、

$$f(a - \sqrt{3})f(a + \sqrt{3}) < 0$$

が成り立つことである。

ここで、問題文で与えられた等式 $f(x) = f'(x)g(x) - 6x$ を利用する。$x = a \pm \sqrt{3}$ のとき $f'(a \pm \sqrt{3}) = 0$ であるから、

$$f(a \pm \sqrt{3}) = 0 \cdot g(a \pm \sqrt{3}) - 6(a \pm \sqrt{3})$$

$$f(a \pm \sqrt{3}) = -6(a \pm \sqrt{3})$$

となる。これを用いて条件式を計算する。

$$\{-6(a - \sqrt{3})\} \{-6(a + \sqrt{3})\} < 0$$

$$36(a - \sqrt{3})(a + \sqrt{3}) < 0$$

$$36(a^2 - 3) < 0$$

$$a^2 - 3 < 0$$

これを解いて、$-\sqrt{3} < a < \sqrt{3}$ となる。

解法2

(2) の別解

$f'(x) = 0$ の解が $x = a \pm \sqrt{3}$ となることまでは解法1と同様である。極値 $f(a \pm \sqrt{3})$ を直接計算によって求める。

(1) の結果より $f(x)$ は、

$$f(x) = x^3 - 3ax^2 + (3a^2 - 9)x - a^3 + 3a$$

となる。これを変形すると、

$$f(x) = (x^3 - 3ax^2 + 3a^2x - a^3) - 9x + 3a$$

$$f(x) = (x - a)^3 - 9x + 3a$$

となる。ここで $x = a \pm \sqrt{3}$ のとき、$x - a = \pm \sqrt{3}$ であるから、

$$ \begin{aligned} f(a \pm \sqrt{3}) &= (\pm \sqrt{3})^3 - 9(a \pm \sqrt{3}) + 3a \\ &= \pm 3\sqrt{3} - 9a \mp 9\sqrt{3} + 3a \\ &= -6a \mp 6\sqrt{3} \\ &= -6(a \pm \sqrt{3}) \end{aligned} $$

（複号同順）となる。

$3$ 次方程式 $f(x) = 0$ が異なる $3$ 個の実数解をもつための条件は、$f(a - \sqrt{3})f(a + \sqrt{3}) < 0$ であるから、

$$\{-6(a - \sqrt{3})\} \{-6(a + \sqrt{3})\} < 0$$

$$36(a^2 - 3) < 0$$

$$a^2 < 3$$

よって、$-\sqrt{3} < a < \sqrt{3}$ となる。

解説

恒等式の処理と $3$ 次方程式の実数解の個数条件を問う標準的な問題である。

(1) における恒等式の処理は、係数比較を丁寧に行うことが基本である。

(2) における「$3$ 次方程式が異なる $3$ つの実数解をもつ $\iff$ 極大値と極小値の積が負」という言い換えは頻出である。極値の積を計算する際、そのまま $f(x)$ に値を代入すると計算が煩雑になることが多い。そこで、本問では「次数下げ」の工夫が有効である。

解法1では、問題で与えられた恒等式 $f(x) = f'(x)g(x) - 6x$ を「$f(x)$ を $f'(x)$ で割った商が $g(x)$、余りが $-6x$」と見なして活用している。$f'(x) = 0$ となる $x$ の値において極値をとるため、$f'(x)$ の項が消去され、余りの $1$ 次式に代入するだけで極値が求まる。これは高次式の値の計算における非常に重要かつ強力な手法である。

解法2のように、式変形によって直接計算しやすくする方法も有効であり、本問の場合はこちらでも十分計算可能である。