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九州大学 1987年理系第4問解説

方針・初手

(1) $\sin^n \theta = \sin^{n-1} \theta \sin \theta$ と分割し、$\sin \theta$ を $(-\cos \theta)'$ とみて部分積分法を用いることで漸化式を導出する。

(2) 被積分関数に $(1-x^2)$ が含まれていることと、積分区間が $0$ から $1$ であることから、$x = \sin t$ と置換積分を行う。その後、三角関数の倍角の公式などを用いて $I_n$ の形を作り出す。

(3) (1)で求めた漸化式と、(2)で求めた関係式を直接用いて値を計算する。

解法1

(1)

$n \geqq 3$ のとき、与えられた積分を次のように変形して部分積分を行う。

$$\begin{aligned} I_n &= \int_0^\pi \sin^{n-1} \theta \sin \theta d\theta \\ &= \int_0^\pi \sin^{n-1} \theta (-\cos \theta)' d\theta \\ &= \Bigl[ \sin^{n-1} \theta (-\cos \theta) \Bigr]_0^\pi - \int_0^\pi (n-1)\sin^{n-2} \theta \cos \theta (-\cos \theta) d\theta \\ &= 0 + (n-1) \int_0^\pi \sin^{n-2} \theta \cos^2 \theta d\theta \end{aligned}$$

ここで、$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ を用いると、

$$\begin{aligned} I_n &= (n-1) \int_0^\pi \sin^{n-2} \theta (1 - \sin^2 \theta) d\theta \\ &= (n-1) \left( \int_0^\pi \sin^{n-2} \theta d\theta - \int_0^\pi \sin^n \theta d\theta \right) \\ &= (n-1) (I_{n-2} - I_n) \end{aligned}$$

これを $I_n$ について整理する。

$$I_n = (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n$$

$$n I_n = (n-1) I_{n-2}$$

両辺を $n \ (\neq 0)$ で割ることで、求める漸化式を得る。

$$I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}$$

(2)

$J_n = \int_0^1 x^n (1-x^2)^{\frac{n-1}{2}} dx$ において、$x = \sin t$ とおく。

$dx = \cos t dt$ であり、$x$ が $0$ から $1$ まで変化するとき、$t$ は $0$ から $\frac{\pi}{2}$ まで変化する。

$$J_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n t (1 - \sin^2 t)^{\frac{n-1}{2}} \cos t dt$$

$1 - \sin^2 t = \cos^2 t$ であり、積分区間 $0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$ において $\cos t \geqq 0$ であるから、$( \cos^2 t )^{\frac{n-1}{2}} = | \cos t |^{n-1} = \cos^{n-1} t$ となる。

$$\begin{aligned} J_n &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n t \cos^{n-1} t \cos t dt \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n t \cos^n t dt \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin t \cos t)^n dt \end{aligned}$$

2倍角の公式 $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ より、$\sin t \cos t = \frac{1}{2} \sin 2t$ であるから、

$$J_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{2} \sin 2t \right)^n dt = \frac{1}{2^n} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n 2t dt$$

さらに $2t = \theta$ とおくと、$2 dt = d\theta$ より $dt = \frac{1}{2} d\theta$ となる。

$t$ が $0$ から $\frac{\pi}{2}$ まで変化するとき、$\theta$ は $0$ から $\pi$ まで変化する。

$$\begin{aligned} J_n &= \frac{1}{2^n} \int_0^\pi \sin^n \theta \cdot \frac{1}{2} d\theta \\ &= \frac{1}{2^{n+1}} \int_0^\pi \sin^n \theta d\theta \\ &= \frac{1}{2^{n+1}} I_n \end{aligned}$$

(3)

(2)の結果より、$n=6$ のとき、

$$J_6 = \frac{1}{2^7} I_6 = \frac{1}{128} I_6$$

(1)で求めた漸化式 $I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}$ を繰り返し用いて $I_6$ を計算する。

$$\begin{aligned} I_6 &= \frac{5}{6} I_4 \\ &= \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} I_2 \\ &= \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} I_0 \end{aligned}$$

ここで、$I_0$ は定義より、

$$I_0 = \int_0^\pi \sin^0 \theta d\theta = \int_0^\pi 1 d\theta = \Bigl[ \theta \Bigr]_0^\pi = \pi$$

したがって、$I_6$ の値は、

$$I_6 = \frac{5 \cdot 3 \cdot 1}{6 \cdot 4 \cdot 2} \pi = \frac{15}{48} \pi = \frac{5}{16} \pi$$

よって、求める $J_6$ の値は、

$$J_6 = \frac{1}{128} \cdot \frac{5}{16} \pi = \frac{5}{2048} \pi$$

解説

(1)はウォリス積（Wallis integral）と呼ばれる有名な定積分の漸化式を導出する問題である。部分積分を用いて次数を下げるこの手法は頻出であるため、確実に習得しておきたい。

(2)の置換積分では、$(1-x^2)$ の形から $x=\sin t$ と置く定石を用いる。置換後の式変形において、積分区間に注意して絶対値を正しく外すことや、2倍角の公式を用いて被積分関数を $\sin$ のみにまとめた後、再び置換積分を行って $I_n$ の形（積分区間 $0$ から $\pi$）を作り出す論理のつながりが重要となる。