東北大学 2014年 理系 第5問 解説

方針・初手

まず $I_0$ はそのまま積分できる。

次に $I_n-I_{n-1}$ では，被積分関数の分子 $\cos((2n+1)x)-\cos((2n-1)x)$ を三角関数の加法定理で整理すると，$\sin x$ が約されて非常に簡単になる。

最後に，その差を順に足し合わせれば $I_5$ が求まる。

解法1

(1)

$I_0$ を求める。

$n=0$ のとき

$$ I_0=\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{\cos x}{\sin x},dx =\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{d(\sin x)}{\sin x}. $$

したがって

$$ I_0=\left[\log(\sin x)\right]_{\pi/4}^{\pi/2} =\log 1-\log\frac{\sqrt2}{2}. $$

ゆえに

$$ I_0=\frac12\log 2. $$

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(2)

$n$ を正の整数とするとき，$I_n-I_{n-1}$ を求める。

定義より

$$ I_n-I_{n-1} =\int_{\pi/4}^{\pi/2} \frac{\cos((2n+1)x)-\cos((2n-1)x)}{\sin x},dx. $$

ここで

$$ \cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} $$

を用いると，

$$ \cos((2n+1)x)-\cos((2n-1)x) =-2\sin(2nx)\sin x $$

である。したがって

$$ I_n-I_{n-1} =\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{-2\sin(2nx)\sin x}{\sin x},dx =\int_{\pi/4}^{\pi/2}-2\sin(2nx),dx. $$

これを積分すると

$$ I_n-I_{n-1} =\left[\frac{\cos(2nx)}{n}\right]_{\pi/4}^{\pi/2} =\frac{\cos(n\pi)-\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}. $$

よって

$$ I_n-I_{n-1} =\frac{(-1)^n-\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}. $$

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(3)

$I_5$ を求める。

漸化式的に

$$ I_5=I_0+\sum_{k=1}^5 (I_k-I_{k-1}) $$

であるから，

$$ I_5=\frac12\log 2+\sum_{k=1}^5 \frac{(-1)^k-\cos\left(\frac{k\pi}{2}\right)}{k}. $$

各項を計算すると

$$ I_1-I_0=\frac{-1-\cos(\pi/2)}{1}=-1, $$

$$ I_2-I_1=\frac{1-\cos\pi}{2}=1, $$

$$ I_3-I_2=\frac{-1-\cos(3\pi/2)}{3}=-\frac13, $$

$$ I_4-I_3=\frac{1-\cos 2\pi}{4}=0, $$

$$ I_5-I_4=\frac{-1-\cos(5\pi/2)}{5}=-\frac15. $$

したがって

$$ \sum_{k=1}^5 (I_k-I_{k-1}) =-1+1-\frac13+0-\frac15 =-\frac{8}{15}. $$

ゆえに

$$ I_5=\frac12\log 2-\frac{8}{15}. $$

解説

この問題の要点は，$I_n$ そのものを直接処理しようとせず，差 $I_n-I_{n-1}$ を考えることである。

分子の余弦の差に対して

$$ \cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} $$

を使うと，分母の $\sin x$ がちょうど消える。ここに気づけば，積分は基本的な $\sin$ の積分に落ちる。

最後は差の和が望む $I_5$ になるので，逐次計算で確実に求められる。

答え

$$ I_0=\frac12\log 2 $$

$$ I_n-I_{n-1}=\frac{\cos(n\pi)-\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n} =\frac{(-1)^n-\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n} \qquad (n\ge 1) $$

$$ I_5=\frac12\log 2-\frac{8}{15} $$