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北海道大学 1998年文系第1問解説

方針・初手

二次関数のグラフの対称性を利用し、長方形の頂点の座標を変数で設定する。

関数 $y=x^2-ax$ は直線 $x=\frac{a}{2}$ を軸とする放物線であるため、長方形の $C$ 上の頂点の $x$ 座標を $x = \frac{a}{2} \pm t$ とおくと縦と横の長さが簡潔に表現でき、計算が見通しやすい。

(1)は $t$ の2次関数の最大値問題、(2)は $t$ の3次関数の最大値問題に帰着される。変数の取りうる値の範囲（定義域）と最大値をとる条件に注意して処理する。

解法1

関数 $y = x^2 - ax = \left(x - \frac{a}{2}\right)^2 - \frac{a^2}{4}$ のグラフ $C$ は、直線 $x = \frac{a}{2}$ を軸とする下に凸の放物線である。

定義域 $\frac{a}{6} \leqq x \leqq \frac{5a}{6}$ は $x = \frac{a}{2}$ に関して対称であり、この範囲で $y \leqq 0$ である。

長方形 $T$ の一辺は $x$ 軸に含まれ、対辺の両端は $C$ 上にあるため、この長方形は直線 $x = \frac{a}{2}$ に関して対称となる。

そこで、$C$ 上の2つの頂点の $x$ 座標を $\frac{a}{2} - t$ および $\frac{a}{2} + t$ （ただし $t > 0$）とおく。

これらの $x$ 座標が定義域 $\frac{a}{6} \leqq x \leqq \frac{5a}{6}$ に含まれるための条件は、

$$ \frac{a}{6} \leqq \frac{a}{2} - t < \frac{a}{2} $$

より、$0 < t \leqq \frac{a}{3}$ である。

このとき、長方形 $T$ の横の長さは

$$ \left(\frac{a}{2} + t\right) - \left(\frac{a}{2} - t\right) = 2t $$

縦の長さは、グラフが $x$ 軸の下方にあることから

$$ -\left\{ \left(\frac{a}{2} + t\right)^2 - a\left(\frac{a}{2} + t\right) \right\} = - \left( t^2 - \frac{a^2}{4} \right) = \frac{a^2}{4} - t^2 $$

となる。

(1)

長方形 $T$ の周の長さを $L(t)$ とすると、

$$ L(t) = 2 \left\{ 2t + \left(\frac{a^2}{4} - t^2\right) \right\} = -2t^2 + 4t + \frac{a^2}{2} = -2(t - 1)^2 + 2 + \frac{a^2}{2} $$

$L(t)$ は $t = 1$ を頂点とする上に凸の放物線である。

定義域は $0 < t \leqq \frac{a}{3}$ であるため、頂点 $t=1$ と定義域の右端 $t=\frac{a}{3}$ の位置関係により場合分けを行う。

(i) $\frac{a}{3} < 1$ すなわち $0 < a < 3$ のとき

$0 < t \leqq \frac{a}{3}$ の範囲で $L(t)$ は単調に増加する。

したがって、$t = \frac{a}{3}$ のとき最大値をとる。最大値は

$$ L\left(\frac{a}{3}\right) = -2\left(\frac{a}{3}\right)^2 + 4\left(\frac{a}{3}\right) + \frac{a^2}{2} = -\frac{2}{9}a^2 + \frac{4}{3}a + \frac{1}{2}a^2 = \frac{5}{18}a^2 + \frac{4}{3}a $$

(ii) $1 \leqq \frac{a}{3}$ すなわち $a \geqq 3$ のとき

頂点 $t = 1$ が定義域 $0 < t \leqq \frac{a}{3}$ に含まれる。

したがって、$t = 1$ のとき最大値をとる。最大値は

$$ L(1) = 2 + \frac{a^2}{2} $$

(2)

長方形 $T$ の面積を $S(t)$ とすると、

$$ S(t) = 2t \left(\frac{a^2}{4} - t^2\right) = -2t^3 + \frac{a^2}{2}t $$

$S(t)$ を $t$ で微分すると、

$$ S'(t) = -6t^2 + \frac{a^2}{2} = -6\left(t^2 - \frac{a^2}{12}\right) $$

$S'(t) = 0$ となる $t > 0$ は $t = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}a$ である。

ここで、$a > 0$ より $\frac{\sqrt{3}}{6} < \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ であるから、極大値をとる $t = \frac{\sqrt{3}}{6}a$ は常に定義域 $0 < t \leqq \frac{a}{3}$ に含まれる。

$0 < t \leqq \frac{a}{3}$ における $S(t)$ の増減は以下のようになる。

$0 < t < \frac{\sqrt{3}}{6}a$ のとき $S'(t) > 0$
$t = \frac{\sqrt{3}}{6}a$ のとき $S'(t) = 0$
$\frac{\sqrt{3}}{6}a < t \leqq \frac{a}{3}$ のとき $S'(t) < 0$

したがって、$S(t)$ は $t = \frac{\sqrt{3}}{6}a$ で極大かつ最大となる。

求める最大値は

$$ S\left(\frac{\sqrt{3}}{6}a\right) = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{6}a\right) \left\{ \frac{a^2}{4} - \left(\frac{\sqrt{3}}{6}a\right)^2 \right\} = \frac{\sqrt{3}}{3}a \left( \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{12} \right) = \frac{\sqrt{3}}{3}a \cdot \frac{a^2}{6} = \frac{\sqrt{3}}{18}a^3 $$