トップ› 京都大学› 1984年› 文系第2問

京都大学 1984年文系第2問解説

方針・初手

関数 $f(x)$ が周期関数であることを示し、その周期を求める問題である。問題文の定義に従い、$f(x+p) = f(x)$ を満たす正の定数 $p$ が存在することを示し、そのような $p$ の最小値を求める。すべての実数 $x$ で等式が成り立つと仮定し、$x=0$ や $x=\frac{\pi}{2}$ などの具体的な値を代入して、周期 $p$ の必要条件（候補）を絞り込む。その後、その $p$ が実際に任意の $x$ で等式を満たすか（十分条件）を確認する手順で進める。

解法1

(1)

$f(x) = 2^{\sin x}$ とする。関数 $f(x)$ が周期 $p > 0$ をもつと仮定すると、すべての実数 $x$ について $f(x+p) = f(x)$ が成り立つ。 $x=0$ を代入すると、$f(p) = f(0)$ より、

$$ 2^{\sin p} = 2^{\sin 0} = 2^0 = 1 $$

底が $2$ であり $1 = 2^0$ であるから、$\sin p = 0$ が成り立つ。正の数 $p$ は $p = n\pi$ （$n$ は正の整数）と表される。最小の周期の候補は $p = \pi$ であるが、$x=\frac{\pi}{2}$ のとき、

$$ f\left(\frac{\pi}{2} + \pi\right) = 2^{\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)} = 2^{-1} = \frac{1}{2} $$

一方、

$$ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2^{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)} = 2^1 = 2 $$

$\frac{1}{2} \neq 2$ であるから、$f\left(\frac{\pi}{2} + \pi\right) \neq f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ となり、$p=\pi$ は周期ではない。次に小さい候補は $p = 2\pi$ である。任意の $x$ について、

$$ f(x+2\pi) = 2^{\sin(x+2\pi)} = 2^{\sin x} = f(x) $$

が成り立つため、$f(x)$ は周期関数であり、その周期は $2\pi$ である。

(2)

$f(x) = \sin(\sin x)$ とする。関数 $f(x)$ が周期 $p > 0$ をもつと仮定すると、すべての実数 $x$ について $f(x+p) = f(x)$ が成り立つ。 $x=0$ を代入すると、$f(p) = f(0)$ より、

$$ \sin(\sin p) = \sin(\sin 0) = 0 $$

ゆえに、整数 $k$ を用いて $\sin p = k\pi$ と表される。ここで、$-1 \leqq \sin p \leqq 1$ であり、$\pi > 1$ であるから、$k=0$ でなければならない。したがって、$\sin p = 0$ となり、正の数 $p$ は $p = n\pi$ （$n$ は正の整数）と表される。最小の周期の候補は $p = \pi$ であるが、$x=\frac{\pi}{2}$ のとき、

$$ f\left(\frac{\pi}{2} + \pi\right) = \sin\left(\sin \frac{3\pi}{2}\right) = \sin(-1) = -\sin 1 $$

一方、

$$ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\sin \frac{\pi}{2}\right) = \sin 1 $$

$\sin 1 \neq 0$ であるから、$f\left(\frac{\pi}{2} + \pi\right) \neq f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ となり、$p=\pi$ は周期ではない。次に小さい候補は $p = 2\pi$ である。任意の $x$ について、

$$ f(x+2\pi) = \sin(\sin(x+2\pi)) = \sin(\sin x) = f(x) $$

が成り立つため、$f(x)$ は周期関数であり、その周期は $2\pi$ である。

解説

合成関数の周期を求める典型問題である。 $\sin x$ を含む関数であるため、「周期は $2\pi$ だろう」と直感的に見当をつけることはできるが、それが「最小の正の周期」であること（証明）が求められている。すべての実数 $x$ で成り立つ恒等式としての性質を利用し、「必要条件からの絞り込み → 十分条件の確認」という論理展開を正確に記述する。$x=0$ で周期の候補を $n\pi$ に絞り、$x=\frac{\pi}{2}$ を代入することで $p=\pi$ を除外するという流れが定石である。