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京都大学 1984年文系第3問解説

方針・初手

線分の通過領域と面積を求める問題である。まずは点 $P, Q$ の座標から直線 $PQ$ の方程式を $t$ を用いて表す。その後、直線ではなく線分 $PQ$ であることから $x$ の変域に制限がつくことに注意し、$x$ を固定したときの $y$ のとり得る範囲を調べる手法（順像法、ファクシミリの原理）を用いて領域を特定する。

解法1

点 $P(t+1, t)$, $Q(t-1, -t)$ を通る直線の傾きは、

$$ \frac{t - (-t)}{(t+1) - (t-1)} = \frac{2t}{2} = t $$

である。よって、直線 $PQ$ の方程式は

$$ y - t = t\{x - (t+1)\} $$

$$ y = tx - t^2 $$

となる。線分 $PQ$ 上の点の $x$ 座標は、$Q$ の $x$ 座標 $t-1$ と $P$ の $x$ 座標 $t+1$ の間にある。すなわち、線分 $PQ$ は方程式

$$ y = tx - t^2 \quad (t-1 \leqq x \leqq t+1) $$

で表される。 $t$ が $0 \leqq t \leqq 1$ の範囲を動くとき、点 $(x, y)$ が線分 $PQ$ の通過する範囲にある条件は、ある実数 $t$ が存在して

$$ 0 \leqq t \leqq 1 \text{ かつ } t-1 \leqq x \leqq t+1 \text{ かつ } y = tx - t^2 $$

を満たすことである。 $t$ の条件 $t-1 \leqq x \leqq t+1$ は $x-1 \leqq t \leqq x+1$ と変形できるので、$0 \leqq t \leqq 1$ と合わせた $t$ の存在範囲は

$$ \max(0, x-1) \leqq t \leqq \min(1, x+1) \quad \cdots \text{①} $$

となる。区間 ① が空集合にならないためには、$\max(0, x-1) \leqq \min(1, x+1)$ でなければならない。これは $0 \leqq x+1 \iff x \geqq -1$ かつ $x-1 \leqq 1 \iff x \leqq 2$ であるから、$x$ のとり得る範囲は $-1 \leqq x \leqq 2$ である。この範囲の $x$ を固定し、$y$ を $t$ の関数

$$ y = -t^2 + xt = -\left(t - \frac{x}{2}\right)^2 + \frac{x^2}{4} $$

とみて、①の範囲での $y$ の最大値と最小値を求める。

(i)

$-1 \leqq x \leqq 0$ のとき

①の範囲は $0 \leqq t \leqq x+1$ となる。放物線 $y = -t^2 + xt$ の軸は $t = \frac{x}{2} \leqq 0$ であるから、区間 $0 \leqq t \leqq x+1$ において $y$ は単調減少（または $t=0$ で最大）となる。最大値は $t = 0$ のとき $y = 0$。最小値は $t = x+1$ のとき $y = -(x+1)^2 + x(x+1) = -x-1$。よって、$-x-1 \leqq y \leqq 0$。

(ii)

$0 < x \leqq 1$ のとき

①の範囲は $0 \leqq t \leqq 1$ となる。軸 $t = \frac{x}{2}$ は $0 < \frac{x}{2} \leqq \frac{1}{2}$ であり、区間 $0 \leqq t \leqq 1$ の中点 $\frac{1}{2}$ 以下の位置にある。最大値は頂点で $y = \frac{x^2}{4}$。最小値は、軸から遠い方の端点 $t=1$ のときにとり、$y = -1^2 + x\cdot 1 = x - 1$。よって、$x-1 \leqq y \leqq \frac{x^2}{4}$。

(iii)

$1 < x \leqq 2$ のとき

①の範囲は $x-1 \leqq t \leqq 1$ となる。軸 $t = \frac{x}{2}$ について、$x-1 < \frac{x}{2} \iff x < 2$ であり、$\frac{x}{2} \leqq 1$ も満たすので、軸は区間内に含まれる（$x=2$ のときは左端点と一致する）。最大値は頂点で $y = \frac{x^2}{4}$。最小値について、区間の両端点 $t=x-1$ と $t=1$ の中点は $\frac{(x-1)+1}{2} = \frac{x}{2}$ となり、軸の位置と一致する。したがって、$t=x-1$ のときと $t=1$ のときで $y$ の値は等しく、最小値は $y = x-1$ となる。よって、$x-1 \leqq y \leqq \frac{x^2}{4}$。

以上（i）〜（iii）より、線分 $PQ$ が通過する範囲は

$$ \begin{cases} -x-1 \leqq y \leqq 0 & (-1 \leqq x \leqq 0) \\ x-1 \leqq y \leqq \frac{x^2}{4} & (0 \leqq x \leqq 2) \end{cases} $$

となる。求める面積を $S$ とすると、$S$ は以下の2つの部分の面積 $S_1, S_2$ の和である。

$S_1$: $-1 \leqq x \leqq 0$ における領域。面積は底辺 $1$、高さ $1$ の直角三角形の面積に等しい。

$$ S_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2} $$

$S_2$: $0 \leqq x \leqq 2$ における領域。

$$ \begin{aligned} S_2 &= \int_{0}^{2} \left\{ \frac{1}{4}x^2 - (x - 1) \right\} dx \\ &= \int_{0}^{2} \frac{1}{4}(x-2)^2 dx \\ &= \left[ \frac{1}{12}(x-2)^3 \right]_{0}^{2} \\ &= 0 - \left( -\frac{8}{12} \right) = \frac{2}{3} \end{aligned} $$

よって、求める面積 $S$ は

$$ S = S_1 + S_2 = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{7}{6} $$

解説

図形と方程式の分野における「通過領域」の定番問題である。直線全体ではなく線分に制限され、かつパラメータ $t$ にも変域が設定されているため、「順像法（ファクシミリの原理）」を用いて、$x$ を固定して $y$ のとり得る範囲を調べるのが最も安全かつ確実である。場合分けの際に、放物線の軸と $t$ の定義域の位置関係を丁寧に確認することがポイントになる。