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京都大学 1975年理系第3問解説

方針・初手

等差数列および等比数列の条件を、それぞれの関係式（等差中項・等比中項の性質）に翻訳して連立する。

$\alpha, \beta, \gamma$ がこの順に等差数列であることは、公差を $d$ として $\alpha = \beta - d$, $\gamma = \beta + d$ とおくか、あるいは $2\beta = \alpha + \gamma$ と表せる。

$\sin \alpha, \sin \beta, \sin \gamma$ がこの順に等比数列であることは、$\sin^2 \beta = \sin \alpha \sin \gamma$ と表せる。

これらの条件式から、$\alpha, \beta, \gamma$ の間にどのような関係が成り立つかを三角関数の公式を用いて導き出す。

解法1

$\alpha, \beta, \gamma$ はこの順に等差数列であるから、その公差を $d$ とおくと、次のように表せる。

$$ \alpha = \beta - d, \quad \gamma = \beta + d $$

また、$\sin \alpha, \sin \beta, \sin \gamma$ がこの順に等比数列であるから、次の関係式が成り立つ。

$$ \sin^2 \beta = \sin \alpha \sin \gamma $$

この式の右辺に $\alpha = \beta - d$ および $\gamma = \beta + d$ を代入する。

$$ \sin^2 \beta = \sin (\beta - d) \sin (\beta + d) $$

右辺を加法定理を用いて展開する。

$$ \sin (\beta - d) \sin (\beta + d) = (\sin \beta \cos d - \cos \beta \sin d)(\sin \beta \cos d + \cos \beta \sin d) $$

$$ = \sin^2 \beta \cos^2 d - \cos^2 \beta \sin^2 d $$

ここで、$\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta$ を代入してさらに整理する。

$$ = \sin^2 \beta \cos^2 d - (1 - \sin^2 \beta) \sin^2 d $$

$$ = \sin^2 \beta \cos^2 d - \sin^2 d + \sin^2 \beta \sin^2 d $$

$$ = \sin^2 \beta (\cos^2 d + \sin^2 d) - \sin^2 d $$

$\cos^2 d + \sin^2 d = 1$ であるから、右辺は次のようになる。

$$ \sin (\beta - d) \sin (\beta + d) = \sin^2 \beta - \sin^2 d $$

したがって、等比数列の条件式は以下のように書き換えられる。

$$ \sin^2 \beta = \sin^2 \beta - \sin^2 d $$

両辺から $\sin^2 \beta$ を引くと、次の式を得る。

$$ \sin^2 d = 0 $$

よって、$\sin d = 0$ となる。これを満たす $d$ は、整数 $n$ を用いて次のように表される。

$$ d = n\pi $$

以上より、$\alpha, \beta, \gamma$ は公差が $\pi$ の整数倍である等差数列であることがわかる。

解法2

$\alpha, \beta, \gamma$ がこの順に等差数列であるから、次の式が成り立つ。

$$ 2\beta = \alpha + \gamma $$

また、$\sin \alpha, \sin \beta, \sin \gamma$ がこの順に等比数列であるから、次の式が成り立つ。

$$ \sin^2 \beta = \sin \alpha \sin \gamma $$

この式の右辺に三角関数の積和の公式を適用する。

$$ \sin \alpha \sin \gamma = -\frac{1}{2} \{ \cos(\alpha + \gamma) - \cos(\alpha - \gamma) \} $$

ここで、$\alpha + \gamma = 2\beta$ を代入する。

$$ \sin \alpha \sin \gamma = -\frac{1}{2} \{ \cos 2\beta - \cos(\alpha - \gamma) \} $$

一方、左辺の $\sin^2 \beta$ に半角の公式を適用する。

$$ \sin^2 \beta = \frac{1 - \cos 2\beta}{2} $$

したがって、等比数列の条件式は次のように表される。

$$ \frac{1 - \cos 2\beta}{2} = -\frac{1}{2} \{ \cos 2\beta - \cos(\alpha - \gamma) \} $$

両辺に $2$ を掛けて整理する。

$$ 1 - \cos 2\beta = -\cos 2\beta + \cos(\alpha - \gamma) $$

両辺に $\cos 2\beta$ を足すと、次の式を得る。

$$ \cos(\alpha - \gamma) = 1 $$

これを満たす $\alpha - \gamma$ は、整数 $m$ を用いて次のように表される。

$$ \alpha - \gamma = 2m\pi $$

$\alpha, \beta, \gamma$ が等差数列であることを考慮すると、公差 $d$ について $\alpha - \gamma = -2d$ となるため、以下のようになる。

$$ -2d = 2m\pi $$

$$ d = -m\pi $$

$-m$ も整数であるから、これを改めて整数 $n$ とおけば $d = n\pi$ となる。よって、公差が $\pi$ の整数倍の等差数列である。

解説

数列が等差数列、等比数列になるための条件を数式化し、三角関数の公式を用いて処理する典型的な問題だ。解法1のように等差数列の公差を $d$ とおいて変数を減らすアプローチと、解法2のように和と差の関係を活かして積和公式を用いるアプローチのどちらでもスムーズに解くことができる。

なお、等比数列の定義において「すべての項が $0$ になる数列（この問題では $\sin \beta = 0$ の場合）」を等比数列とみなすかどうかは、教科書や文脈によって見解が分かれる場合がある。しかし、一般的には等比中項の関係式 $b^2 = ac$ が成り立つことを条件として扱うため、本解答の通りで問題ない。