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京都大学 1990年文系第1問解説

方針・初手

2つの曲線が点 $P$ で共通の接線をもつための条件は、接点の $x$ 座標を $t$ としたとき、$y$ 座標が等しく、かつ微分係数（接線の傾き）が等しいことです。これら2つの条件を立式し、連立方程式を解いて $t$ と $a$ を求めます。その際、$a>0$ の条件を満たすかどうかの吟味が必要です。面積を求める際は、求めた $a$ を代入して2曲線の交点を求め、積分区間におけるグラフの上下関係を把握してから定積分を計算します。

解法1

(1)

$f(x) = x^3 - x$、$g(x) = x^2 - a$ とおく。これらを微分すると

$$ f'(x) = 3x^2 - 1, \quad g'(x) = 2x $$

である。 2つの曲線が点 $P$ を通り、そこで共通の接線をもつための条件は、点 $P$ の $x$ 座標を $t$ とすると

$$ \begin{cases} f(t) = g(t) \\ f'(t) = g'(t) \end{cases} $$

が成り立つことである。したがって

$$ \begin{cases} t^3 - t = t^2 - a & \dots (1) \\ 3t^2 - 1 = 2t & \dots (2) \end{cases} $$

(2) より

$$ 3t^2 - 2t - 1 = 0 $$

$$ (3t + 1)(t - 1) = 0 $$

$$ t = 1, -\frac{1}{3} $$

(i)

$t=1$ のとき

(1) より

$$ 1^3 - 1 = 1^2 - a $$

$$ 0 = 1 - a $$

$$ a = 1 $$

これは $a > 0$ を満たす。

(ii)

$t=-\frac{1}{3}$ のとき

(1) より

$$ \left(-\frac{1}{3}\right)^3 - \left(-\frac{1}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}\right)^2 - a $$

$$ -\frac{1}{27} + \frac{1}{3} = \frac{1}{9} - a $$

$$ \frac{8}{27} = \frac{3}{27} - a $$

$$ a = -\frac{5}{27} $$

これは $a > 0$ を満たさない。

(i), (ii) より

$$ a = 1 $$

(2)

$a=1$ のとき、2つの曲線の方程式は $y = x^3 - x$ と $y = x^2 - 1$ である。共有点の $x$ 座標を求めるため、これらを連立すると

$$ x^3 - x = x^2 - 1 $$

$$ x^3 - x^2 - x + 1 = 0 $$

$x=1$ で接することから左辺は $(x-1)^2$ を因数にもつため

$$ (x-1)^2(x+1) = 0 $$

$$ x = 1, -1 $$

区間 $-1 \leqq x \leqq 1$ において、例えば $x=0$ を代入すると $f(0)=0, g(0)=-1$ より $x^3 - x \geqq x^2 - 1$ である。よって、求める面積 $S$ は

$$ S = \int_{-1}^1 \{ (x^3 - x) - (x^2 - 1) \} dx $$

$$ S = \int_{-1}^1 (x^3 - x^2 - x + 1) dx $$

偶関数・奇関数の性質を利用して計算すると

$$ S = 2 \int_0^1 (-x^2 + 1) dx $$

$$ S = 2 \left[ -\frac{1}{3}x^3 + x \right]_0^1 $$

$$ S = 2 \left( -\frac{1}{3} + 1 \right) = \frac{4}{3} $$

解法2

（(2)の定積分計算の別解）

面積 $S$ を求める定積分の式

$$ S = \int_{-1}^1 (x^3 - x^2 - x + 1) dx $$

において、被積分関数は $(x-1)^2(x+1)$ と因数分解できる。ここで、定積分の公式 $\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)^2 dx = \frac{(\beta-\alpha)^4}{12}$ を用いると、

$$ S = \int_{-1}^1 (x+1)(x-1)^2 dx $$

$$ S = \frac{\{1 - (-1)\}^4}{12} $$

$$ S = \frac{2^4}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} $$

解説

(1)の共通接線の問題は、接点の $x$ 座標を文字でおき、「関数値が等しい」かつ「微係数が等しい」の2式を連立させるのが定石です。本問では $a>0$ という条件が与えられているため、出てきた $a$ の値の吟味を忘れないようにしましょう。 (2)の面積計算では、交点を求める方程式が $x=1$ を重解にもつこと（接点であるため）を利用すると、因数分解をスムーズに行うことができます。積分計算においては、積分区間が対称であることから偶関数・奇関数の性質を利用すると計算量を減らせます。また、解法2のようにいわゆる「 $\frac{1}{12}$ 公式」を用いるとさらに迅速に結果を得ることができます。