京都大学 1970年 理系 第5問 解説

方針・初手

与えられた関数 $F(x) = \int_0^x t \sin^3 t dt$ について、微積分学の基本定理を用いて導関数 $F'(x)$ を求める。 $x > 0$ における $F'(x)$ の符号変化を調べ、極大値をとる $x$ の条件を特定する。 その後、3倍角の公式と部分積分法を用いて定積分を計算し、極大値を求める。

解法1

関数 $F(x)$ を $x$ で微分すると、微積分学の基本定理より以下のようになる。

$$ F'(x) = x \sin^3 x $$

$x > 0$ において $F'(x) = 0$ となるのは、$\sin x = 0$ のときである。 これを満たす $x$ は、$n$ を自然数（$n = 1, 2, 3, \dots$）として $x = n\pi$ と表される。

$x > 0$ であるから、$F'(x)$ の符号は $\sin^3 x$ の符号、すなわち $\sin x$ の符号と一致する。 $\sin x$ の符号は以下の区間で変化する。

• $(2n-2)\pi < x < (2n-1)\pi$ のとき、正
• $(2n-1)\pi < x < 2n\pi$ のとき、負

したがって、$F'(x)$ は $x = (2n-1)\pi$ において正から負へと符号を変える。 よって、$F(x)$ は $x = (2n-1)\pi$ のとき極大となる。

次に、$F(x)$ の積分を計算する。 3倍角の公式 $\sin 3t = 3\sin t - 4\sin^3 t$ より、$\sin^3 t = \frac{3\sin t - \sin 3t}{4}$ であるから、これを代入する。

$$ \begin{aligned} F(x) &= \int_0^x t \left( \frac{3\sin t - \sin 3t}{4} \right) dt \\ &= \frac{3}{4} \int_0^x t \sin t dt - \frac{1}{4} \int_0^x t \sin 3t dt \end{aligned} $$

それぞれの定積分を、部分積分法を用いて計算する。

$$ \begin{aligned} \int_0^x t \sin t dt &= \Big[ t (-\cos t) \Big]_0^x - \int_0^x 1 \cdot (-\cos t) dt \\ &= -x \cos x + \Big[ \sin t \Big]_0^x \\ &= -x \cos x + \sin x \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \int_0^x t \sin 3t dt &= \left[ t \left( -\frac{1}{3} \cos 3t \right) \right]_0^x - \int_0^x 1 \cdot \left( -\frac{1}{3} \cos 3t \right) dt \\ &= -\frac{1}{3}x \cos 3x + \frac{1}{3} \int_0^x \cos 3t dt \\ &= -\frac{1}{3}x \cos 3x + \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{3} \sin 3t \right]_0^x \\ &= -\frac{1}{3}x \cos 3x + \frac{1}{9} \sin 3x \end{aligned} $$

これらを $F(x)$ の式に代入する。

$$ F(x) = \frac{3}{4} (-x \cos x + \sin x) - \frac{1}{4} \left( -\frac{1}{3}x \cos 3x + \frac{1}{9} \sin 3x \right) $$

極大値をとる $x = (2n-1)\pi$ をこの式に代入して極大値を求める。 ここで、任意の整数 $k$ に対して $\sin(k\pi) = 0$ であるから、$\sin((2n-1)\pi) = 0$ および $\sin(3(2n-1)\pi) = 0$ となる。 また、奇数倍の $\pi$ の余弦は $-1$ であるから、$\cos((2n-1)\pi) = -1$ および $\cos(3(2n-1)\pi) = \cos((6n-3)\pi) = -1$ となる。

$$ \begin{aligned} F((2n-1)\pi) &= \frac{3}{4} \left( -(2n-1)\pi \cdot (-1) + 0 \right) - \frac{1}{4} \left( -\frac{1}{3}(2n-1)\pi \cdot (-1) + 0 \right) \\ &= \frac{3}{4} (2n-1)\pi - \frac{1}{12} (2n-1)\pi \\ &= \left( \frac{9}{12} - \frac{1}{12} \right) (2n-1)\pi \\ &= \frac{2}{3} (2n-1)\pi \end{aligned} $$

解説

定積分で表された関数の極値問題の典型である。 まず $F'(x)$ を計算して増減表（または符号変化）を考え、極大となる $x$ の条件を見つけることが第一歩となる。 $x > 0$ の条件から $F'(x)$ の符号が $\sin x$ だけで決まることを見抜ければ、極大点を一般角で容易に表すことができる。 積分計算では、$\sin^3 t$ のような三角関数の奇数乗の処理として、3倍角の公式による次数下げが極めて有効である。その後の部分積分は計算ミスが起こりやすい箇所なので、丁寧に立式することが求められる。

答え

$n$ を自然数（$n = 1, 2, 3, \dots$）として、$x = (2n-1)\pi$ のとき、

極大値 $\frac{2}{3}(2n-1)\pi$