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京都大学 2009年文系第4問（甲）解説

方針・初手

図形の折り返し操作により、線分の長さと角の大きさが保たれることに着目します。 $\angle AOB = \theta$ とおき、点 $O$ の周りの各頂点の位置（偏角）を追跡することで、$\triangle OAB$ と $\triangle OBE$ の面積を $\theta$ を用いて表します。面積比の条件から $\theta$ に関する方程式を立てて解きます。

解法1

$\triangle OAB$ は鋭角三角形であるから、$\angle AOB = \theta$ とおくと、$0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$ である。

半直線 $OB$ を基準として、点 $O$ 周りの各頂点の偏角を考える。点 $A$ の偏角を $\theta$ とする。折り返しの操作において、ある直線を軸とする対称移動を行うため、以下のことが成り立つ。

$\triangle OAB$ を辺 $OB$ に関して折り返す

点 $A$ が点 $C$ に移るため、$OA = OC$ となる。軸 $OB$ の偏角は $0$ なので、点 $C$ の偏角は $-\theta$ となる。
$\triangle OBC$ を辺 $OC$ に関して折り返す

点 $B$ が点 $D$ に移るため、$OB = OD$ となる。軸 $OC$ の偏角は $-\theta$ であり、点 $B$ の偏角は $0$ であるから、点 $D$ の偏角は $2 \times (-\theta) - 0 = -2\theta$ となる。
$\triangle OCD$ を辺 $OD$ に関して折り返す

点 $C$ が点 $E$ に移るため、$OC = OE$ となる。軸 $OD$ の偏角は $-2\theta$ であり、点 $C$ の偏角は $-\theta$ であるから、点 $E$ の偏角は $2 \times (-2\theta) - (-\theta) = -3\theta$ となる。

この一連の操作により、$OA = OC = OE$ が成り立つ。また、点 $B$ と点 $E$ の偏角の差の絶対値は $3\theta$ である。 $\triangle OBE$ が三角形をなすことから、点 $O, B, E$ は一直線上にない。

$\triangle OAB$ と $\triangle OBE$ の面積をそれぞれ $S_1, S_2$ とすると、

$$ S_1 = \frac{1}{2} OA \cdot OB \sin \theta $$

と表せる。ここで、$0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$ より $0 < 3\theta < \dfrac{3\pi}{2}$ である。 $3\theta$ の値によって $\triangle OBE$ の内角 $\angle BOE$ は次のように場合分けされる。

[1] $0 < 3\theta < \pi$（すなわち $0 < \theta < \dfrac{\pi}{3}$）のとき

$\angle BOE = 3\theta$ となるため、

$$ S_2 = \frac{1}{2} OB \cdot OE \sin 3\theta $$

$OA = OE$ より、面積比 $S_1 : S_2 = 2 : 3$ は

$$ \sin \theta : \sin 3\theta = 2 : 3 $$

$$ 3\sin \theta = 2\sin 3\theta $$

3倍角の公式 $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ を代入すると、

$$ 3\sin \theta = 2(3\sin \theta - 4\sin^3 \theta) $$

$$ 3\sin \theta = 6\sin \theta - 8\sin^3 \theta $$

$$ 8\sin^3 \theta - 3\sin \theta = 0 $$

$$ \sin \theta (8\sin^2 \theta - 3) = 0 $$

$0 < \theta < \dfrac{\pi}{3}$ より $\sin \theta > 0$ であるから、

$$ \sin^2 \theta = \frac{3}{8} \implies \sin \theta = \frac{\sqrt{6}}{4} $$

（このとき $\sin \theta = \dfrac{\sqrt{6}}{4} \approx 0.612$ であり、$\sin \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$ より $0 < \theta < \dfrac{\pi}{3}$ の条件を満たす。）

[2] $\pi \leqq 3\theta < \dfrac{3\pi}{2}$（すなわち $\dfrac{\pi}{3} \leqq \theta < \dfrac{\pi}{2}$）のとき

$\angle BOE$ の大きさは $2\pi - 3\theta$ となるため、

$$ S_2 = \frac{1}{2} OB \cdot OE \sin(2\pi - 3\theta) = -\frac{1}{2} OB \cdot OE \sin 3\theta $$

面積比 $S_1 : S_2 = 2 : 3$ より

$$ \sin \theta : (-\sin 3\theta) = 2 : 3 $$

$$ 3\sin \theta = -2\sin 3\theta $$

同様に3倍角の公式を用いると、

$$ 3\sin \theta = -2(3\sin \theta - 4\sin^3 \theta) $$

$$ 3\sin \theta = -6\sin \theta + 8\sin^3 \theta $$

$$ 8\sin^3 \theta - 9\sin \theta = 0 $$

$$ \sin \theta (8\sin^2 \theta - 9) = 0 $$

$\sin \theta > 0$ より $\sin^2 \theta = \dfrac{9}{8}$ となるが、これは $\sin^2 \theta \leqq 1$ であることに矛盾する。したがって、この範囲に解は存在しない。