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京都大学 2015年文系第1問解説

方針・初手

直線 $y=px+q$ が放物線 $y=x^2-x$ と交わる条件は、連立して得られる 2 次方程式の判別式 $D \geq 0$ から導く。
直線 $y=px+q$ が折れ線 $y=|x|+|x-1|+1$ と交わらない条件は、すべての実数 $x$ において不等式 $|x|+|x-1|+1 > px+q$ が常に成り立つ条件として捉える。絶対値を外して $x$ の範囲ごとに直線の傾きを比較し、$p$ の範囲を絞った上で、折れ点での大小関係から $q$ の条件を求める。
得られた不等式が表す $pq$ 平面上の領域を図示し、上下の境界線の差を積分して面積を計算する。

解法1

直線 $L: y = px+q$、放物線 $C: y = x^2-x$、折れ線 $M: y = |x|+|x-1|+1$ とする。

(1) $L$ が $C$ と交わる条件

$$ x^2 - x = px + q \iff x^2 - (p+1)x - q = 0 $$

この 2 次方程式が実数解をもつ条件は判別式 $D \geq 0$ であるから、

$$ D = (p+1)^2 + 4q \geq 0 \iff q \geq -\frac{(p+1)^2}{4} \quad \cdots \textcircled{1} $$

(2) $L$ が $M$ と交わらない条件

すべての実数 $x$ において $px+q < |x|+|x-1|+1$ が成り立つことである。

$f(x) = |x|+|x-1|+1$ とおくと、

$$ f(x) = \begin{cases} -2x+2 & (x < 0) \\ 2 & (0 \leq x \leq 1) \\ 2x & (x > 1) \end{cases} $$

$g(x) = f(x) - (px+q)$ がすべての $x$ で $g(x) > 0$ となればよい。

$x < 0$ のとき $g(x) = -(p+2)x + (2-q)$。$x \to -\infty$ で $g(x)$ が $-\infty$ にならないためには $-(p+2) \leq 0$、すなわち $p \geq -2$。
$x > 1$ のとき $g(x) = (2-p)x - q$。$x \to +\infty$ で $g(x)$ が $-\infty$ にならないためには $2-p \geq 0$、すなわち $p \leq 2$。

よって、$-2 \leq p \leq 2$ $\cdots \textcircled{2}$ が必要である。

このとき $g(x)$ は区分線形または定数であり、各区間で単調。最小値は折れ点 $x=0,\,x=1$ で達成されるから、

$$ g(0) > 0 \iff 2 - q > 0 \iff q < 2 \quad \cdots \textcircled{3} $$

$$ g(1) > 0 \iff 2 - (p+q) > 0 \iff q < -p+2 \quad \cdots \textcircled{4} $$

$\textcircled{2}$、$\textcircled{3}$、$\textcircled{4}$ を同時に満たすことが十分条件でもある。

(3) 領域の図示と面積

求める $(p,q)$ の条件は $\textcircled{1}$〜$\textcircled{4}$ をすべて満たすことである。

$\textcircled{3}$ と $\textcircled{4}$ から、上端の境界は

$-2 \leq p \leq 0$ のとき：$q = 2$（$2-p \geq 2$ なので $q < 2$ が支配）
$0 \leq p \leq 2$ のとき：$q = -p+2$（$2-p \leq 2$ なので $q < -p+2$ が支配）

下端の境界は $q = -\dfrac{(p+1)^2}{4}$（$-2 \leq p \leq 2$）。

面積 $S$ は、

$$ S = \int_{-2}^{0}\!\left\{2 + \frac{(p+1)^2}{4}\right\}dp + \int_{0}^{2}\!\left\{(2-p) + \frac{(p+1)^2}{4}\right\}dp $$

$$ = \int_{-2}^{0} 2\,dp + \int_{0}^{2}(2-p)\,dp + \int_{-2}^{2}\frac{(p+1)^2}{4}\,dp $$

各積分を計算する。

$$ \int_{-2}^{0} 2\,dp = \bigl[2p\bigr]_{-2}^{0} = 0-(-4) = 4 $$

$$ \int_{0}^{2}(2-p)\,dp = \left[2p - \frac{p^2}{2}\right]_{0}^{2} = 4-2 = 2 $$

$$ \int_{-2}^{2}\frac{(p+1)^2}{4}\,dp = \left[\frac{(p+1)^3}{12}\right]_{-2}^{2} = \frac{27}{12} - \frac{(-1)}{12} = \frac{28}{12} = \frac{7}{3} $$

よって、

$$ S = 4 + 2 + \frac{7}{3} = \frac{25}{3} $$

解説

絶対値付きの関数と直線の位置関係を扱う典型的な問題である。直線が折れ線と交わらないための条件は「グラフ上の直感（傾きが両端の半直線の傾きの間にあり、谷底の折れ点より下を通らない）」で立式できるが、記述式では差の関数 $g(x)$ が常に正となる条件として論理的に展開し、無限遠での振る舞いから傾きの条件 $-2 \leq p \leq 2$ を明記することが重要である。

面積計算では $\dfrac{(p+1)^2}{4}$ の積分を $[-2, 2]$ 全体で一気にまとめることで計算量を削減できる。