トップ› 京都大学› 2024年› 文系第5問

京都大学 2024年文系第5問解説

方針・初手

$y = x^2 - 4x + 5$ と $y = ax + b$ から $y$ を消去した2次方程式が、$x > 1$ の範囲に異なる2つの実数解をもつ条件を求めます。

「判別式 $D > 0$」「軸 $> 1$」「端点での値 $> 0$」の3条件から $a, b$ の不等式を導き、$ab$ 平面上に図示して面積を計算します。

解法1

関数 $C: y = x^2 - 4x + 5 \ (x > 1)$ と直線 $y = ax + b$ が2つの異なる共有点をもつのは、方程式

$$ x^2 - 4x + 5 = ax + b $$

すなわち

$$ x^2 - (a + 4)x + 5 - b = 0 \quad \cdots ① $$

が $x > 1$ の範囲に異なる2つの実数解をもつときである。

$f(x) = x^2 - (a + 4)x + 5 - b$ とおく。$y = f(x)$ のグラフは下に凸の放物線であり、これが $x > 1$ の範囲で $x$ 軸と異なる2点で交わる条件は、以下の(i)〜(iii)がすべて成り立つことである。

(i) 判別式 $D > 0$

$$ D = (a + 4)^2 - 4(5 - b) = a^2 + 8a - 4 + 4b > 0 $$

整理すると

$$ b > -\frac{1}{4}a^2 - 2a + 1 \quad \cdots ② $$

(ii) 軸 $> 1$

軸の方程式は $x = \dfrac{a + 4}{2}$ であるから

$$ \frac{a + 4}{2} > 1 \iff a > -2 $$

問題文より $a$ は正の実数であるから $a > 0$ であり、この条件は常に満たされる。

(iii) $f(1) > 0$

$$ f(1) = 1 - (a + 4) + 5 - b = -a - b + 2 > 0 $$

整理すると

$$ b < -a + 2 \quad \cdots ③ $$

したがって、点 $(a, b)$ が動く領域は、不等式

$$ \begin{cases} a > 0 \\ b > 0 \\ b > -\dfrac{1}{4}a^2 - 2a + 1 \\ b < -a + 2 \end{cases} $$

を満たす領域である。

境界線について調べる。放物線 $b = -\frac{1}{4}a^2 - 2a + 1$ と直線 $b = -a + 2$ の交点の $a$ 座標は、

$$ -\frac{1}{4}a^2 - 2a + 1 = -a + 2 \iff (a + 2)^2 = 0 $$

より $a = -2$ で接する。したがって、$a > 0$ の範囲において放物線は常に直線の下側にある。

また、放物線と $a$ 軸（$b = 0$）の交点の $a$ 座標は

$$ a^2 + 8a - 4 = 0 \implies a = -4 \pm 2\sqrt{5} $$

$a > 0$ であるから $a = 2\sqrt{5} - 4$ である。

求める領域は、直線 $b = -a + 2$ と $a$ 軸、$b$ 軸で囲まれた直角三角形から、放物線 $b = -\frac{1}{4}a^2 - 2a + 1$ と $a$ 軸、$b$ 軸で囲まれた部分を除いた部分となる。

直線 $b = -a + 2$ と両軸で囲まれた三角形の面積 $S_1$ は

$$ S_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2 $$

放物線 $b = -\frac{1}{4}a^2 - 2a + 1$ と両軸で囲まれた部分の面積 $S_2$ は、$\alpha = 2\sqrt{5} - 4$ とおくと $\alpha^2 + 8\alpha - 4 = 0$ であり、

$$\begin{aligned} S_2 &= \int_0^{\alpha} \left( -\frac{1}{4}a^2 - 2a + 1 \right) da \\ &= \left[ -\frac{1}{12}a^3 - a^2 + a \right]_0^{\alpha} \\ &= \alpha \left( -\frac{1}{12}\alpha^2 - \alpha + 1 \right) \end{aligned}$$

$\alpha^2 = -8\alpha + 4$ を代入すると、

$$\begin{aligned} S_2 &= \alpha \left( -\frac{1}{12}(-8\alpha + 4) - \alpha + 1 \right) \\ &= \alpha \left( -\frac{1}{3}\alpha + \frac{2}{3} \right) \\ &= -\frac{1}{3}\alpha^2 + \frac{2}{3}\alpha \\ &= -\frac{1}{3}(-8\alpha + 4) + \frac{2}{3}\alpha \\ &= \frac{10}{3}\alpha - \frac{4}{3} \end{aligned}$$

$\alpha = 2\sqrt{5} - 4$ を代入して、

$$ S_2 = \frac{10}{3}(2\sqrt{5} - 4) - \frac{4}{3} = \frac{20\sqrt{5} - 44}{3} $$

したがって、求める面積 $S$ は

$$ S = S_1 - S_2 = 2 - \frac{20\sqrt{5} - 44}{3} = \frac{50 - 20\sqrt{5}}{3} $$

解説

「2次関数と直線の共有点」を「2次方程式の解の配置」に帰着させる基本的な手法を用います。「$x > 1$ に異なる2つの実数解をもつ」という条件から、$D > 0$、軸 $> 1$、$f(1) > 0$ を立式し、それらが表す領域を $ab$ 平面上に描きます。

面積計算の際、直線と放物線は $a = -2$ で接し $a > 0$ の範囲では交わらないこと、そして放物線が $a$ 軸と交わる点 $\alpha = 2\sqrt{5} - 4$ が $0 < a < 2$ の間にあることに注意し、図形全体から不要な部分を引くという方針をとると積分計算がスムーズになります。また、高次式の値を求める定積分では $\alpha^2 + 8\alpha - 4 = 0$ を利用した「次数下げ」の手法を用いることで、計算量を減らしミスを防ぐことができます。