トップ› 京都大学› 2011年› 理系第3問

京都大学 2011年理系第3問解説

方針・初手

絶対値を含む関数は、絶対値の中身の符号で場合分けをして絶対値記号を外すのが定石です。$y = \left| \dfrac{3}{4}x^2 - 3 \right| - 2$ について、中身が $0$ 以上になるか負になるかで2つの放物線に分けます。その後、直線 $y=x$ との交点をそれぞれ求め、グラフの上下関係を把握した上で定積分を立式します。絶対値のグラフと直線の交差により「囲まれる図形」が複数に分かれるため、積分区間を分けて丁寧に計算を実行します。

解法1

関数 $f(x) = \left| \dfrac{3}{4}x^2 - 3 \right| - 2$ の絶対値を外す。

$\dfrac{3}{4}x^2 - 3 \geqq 0 \iff x \leqq -2,\ 2 \leqq x$ のとき

$$ f(x) = \frac{3}{4}x^2 - 5 $$

$\dfrac{3}{4}x^2 - 3 < 0 \iff -2 < x < 2$ のとき

$$ f(x) = -\frac{3}{4}x^2 + 1 $$

それぞれの区間において、直線 $y=x$ との交点を求める。

(i) $x \leqq -2,\ 2 \leqq x$ のとき

$$ \frac{3}{4}x^2 - 5 = x \iff 3x^2 - 4x - 20 = 0 \iff (3x-10)(x+2) = 0 \implies x = \frac{10}{3},\ -2 $$

$\dfrac{10}{3} \geqq 2$ および $-2 \leqq -2$ であるから、これらはともに条件を満たす。

(ii) $-2 < x < 2$ のとき

$$ -\frac{3}{4}x^2 + 1 = x \iff 3x^2 + 4x - 4 = 0 \iff (3x-2)(x+2) = 0 \implies x = \frac{2}{3},\ -2 $$

$-2 < x < 2$ を満たすのは $x = \dfrac{2}{3}$ のみである。（$x=-2$ は境界で交わる点）

グラフの上下関係を調べると、交点 $x = -2,\ \dfrac{2}{3},\ \dfrac{10}{3}$ および関数の切り替わり点 $x=2$ によって区間が分かれる。

$-2 \leqq x \leqq \dfrac{2}{3}$ において、$f(0) = 1 > 0$ より $f(x) \geqq x$
$\dfrac{2}{3} \leqq x \leqq 2$ において、$f(1) = \dfrac{1}{4} < 1$ より $x \geqq f(x)$
$2 \leqq x \leqq \dfrac{10}{3}$ において、$f(3) = \dfrac{27}{4}-5 = \dfrac{7}{4} < 3$ より $x \geqq f(x)$

したがって、囲まれる図形は2つの部分に分かれ、求める面積 $S$ は次のように立式できる。

$$ S = \int_{-2}^{\frac{2}{3}} (f(x) - x)\,dx + \int_{\frac{2}{3}}^{2} (x - f(x))\,dx + \int_{2}^{\frac{10}{3}} (x - f(x))\,dx $$

各区間の積分を計算する。

第1項：

$$ \int_{-2}^{\frac{2}{3}} \left(-\frac{3}{4}x^2 - x + 1\right) dx = \left[ -\frac{1}{4}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x \right]_{-2}^{\frac{2}{3}} $$

$$ = \left( -\frac{2}{27} - \frac{6}{27} + \frac{18}{27} \right) - (2 - 2 - 2) = \frac{10}{27} + 2 = \frac{64}{27} $$

第2項：

$$ \int_{\frac{2}{3}}^{2} \left(\frac{3}{4}x^2 + x - 1\right) dx = \left[ \frac{1}{4}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - x \right]_{\frac{2}{3}}^{2} $$

$$ = (2 + 2 - 2) - \left( \frac{2}{27} + \frac{6}{27} - \frac{18}{27} \right) = 2 + \frac{10}{27} = \frac{64}{27} $$

第3項：

$$ \int_{2}^{\frac{10}{3}} \left(-\frac{3}{4}x^2 + x + 5\right) dx = \left[ -\frac{1}{4}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 5x \right]_{2}^{\frac{10}{3}} $$

$$ = \left( -\frac{250}{27} + \frac{150}{27} + \frac{450}{27} \right) - (-2 + 2 + 10) = \frac{350}{27} - 10 = \frac{80}{27} $$

これらを足し合わせて、

$$ S = \frac{64}{27} + \frac{64}{27} + \frac{80}{27} = \frac{208}{27} $$

解説

絶対値を含む関数の面積計算の典型問題である。グラフを図示してみると、$y = \left| \dfrac{3}{4}x^2 - 3 \right| - 2$ は、放物線 $y = \dfrac{3}{4}x^2 - 5$ を直線 $y = -2$ を折り目として下側の部分を上に折り返したような形（山が1つ、谷が2つある形）になっていることがわかる。

積分計算について、第1項の $\displaystyle\int_{-2}^{\frac{2}{3}} \left(-\frac{3}{4}x^2 - x + 1\right) dx$ は、被積分関数の零点が積分区間の両端 $x = -2,\ \dfrac{2}{3}$ に一致するため、$\dfrac{1}{6}$ 公式を用いて

$$ \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{6} \left(\frac{2}{3} - (-2)\right)^3 = \frac{1}{8} \cdot \left(\frac{8}{3}\right)^3 = \frac{64}{27} $$

と素早く計算（または検算）することができる。このような小技を知っていると、計算ミスを防ぎやすくなる。