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大阪大学 1978年理系第1問解説

方針・初手

線分 $OA$ は、点 $O(0, 0)$ と $A(1, 1)$ を結ぶ線分であるため、方程式 $y = x \ (0 \leqq x \leqq 1)$ で表される。曲線 $y = px^2 + q$ と線分 $OA$ が共有点をもつための条件は、方程式 $px^2 + q = x$ つまり $px^2 - x + q = 0$ が $0 \leqq x \leqq 1$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもつことである。定数 $q$ を分離して考える方法（解法1）と、2次方程式の解の配置として扱う方法（解法2）が考えられる。

解法1

曲線 $y = px^2 + q$ と線分 $y = x \ (0 \leqq x \leqq 1)$ が共有点をもつための条件は、方程式

$$ px^2 + q = x $$

すなわち

$$ q = -px^2 + x $$

が $0 \leqq x \leqq 1$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもつことである。

関数 $f(x) = -px^2 + x$ を考える。求める条件は、$0 \leqq x \leqq 1$ における $f(x)$ の値域に $q$ が含まれることである。

$p > 0$ であるから、関数 $f(x)$ のグラフは上に凸の放物線であり、式を平方完成すると

$$ f(x) = -p\left(x - \frac{1}{2p}\right)^2 + \frac{1}{4p} $$

となる。頂点の $x$ 座標は $x = \frac{1}{2p}$ であり、$p > 0$ より $\frac{1}{2p} > 0$ である。区間 $0 \leqq x \leqq 1$ における $f(x)$ の最大値と最小値を、頂点の位置によって場合分けして調べる。

（i）頂点が区間の右側にあるとき（$\frac{1}{2p} \geqq 1$ すなわち $0 < p \leqq \frac{1}{2}$ のとき）区間 $0 \leqq x \leqq 1$ において、関数 $f(x)$ は単調に増加する。したがって、最大値と最小値は次のようになる。最小値： $f(0) = 0$ 最大値： $f(1) = 1 - p$ よって、このときの $f(x)$ の値域は $0 \leqq f(x) \leqq 1 - p$ であるから、$q$ の満たすべき条件は

$$ 0 \leqq q \leqq 1 - p $$

（ii）頂点が区間内にあるとき（$0 < \frac{1}{2p} \leqq 1$ すなわち $p \geqq \frac{1}{2}$ のとき）最大値は頂点における値となる。最大値： $f\left(\frac{1}{2p}\right) = \frac{1}{4p}$ 最小値は、区間の両端 $f(0) = 0$ と $f(1) = 1 - p$ のうち、小さくない方の値となる。これら2つの値の大小を比較する。 $p \geqq 1$ のときは $1 - p \leqq 0$ なので、最小値は $1 - p$ である。 $\frac{1}{2} \leqq p \leqq 1$ のときは $1 - p \geqq 0$ なので、最小値は $0$ である。

したがって、$f(x)$ の値域から、$q$ の満たすべき条件は次のようになる。 $\frac{1}{2} \leqq p \leqq 1$ のとき： $0 \leqq q \leqq \frac{1}{4p}$ $p \geqq 1$ のとき： $1 - p \leqq q \leqq \frac{1}{4p}$

以上（i）, （ii）をまとめると、点 $(p, q)$ の存在範囲は、以下の不等式を満たす領域となる。

$$ \begin{cases} 0 < p \leqq \frac{1}{2} \text{ のとき} & 0 \leqq q \leqq 1 - p \\ \frac{1}{2} \leqq p \leqq 1 \text{ のとき} & 0 \leqq q \leqq \frac{1}{4p} \\ p \geqq 1 \text{ のとき} & 1 - p \leqq q \leqq \frac{1}{4p} \end{cases} $$

解法2

方程式 $px^2 - x + q = 0$ が、$0 \leqq x \leqq 1$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ条件を求める。 $g(x) = px^2 - x + q$ とおくと、

$$ g(x) = p\left(x - \frac{1}{2p}\right)^2 - \frac{1}{4p} + q $$

であり、$p > 0$ より $y = g(x)$ のグラフは下に凸で、軸は直線 $x = \frac{1}{2p} \ (>0)$ である。方程式 $g(x) = 0$ が $0 \leqq x \leqq 1$ に少なくとも1つの実数解をもつのは、次の [1], [2] のいずれかの場合である。

[1] $0 \leqq x \leqq 1$ に実数解を1つもち、他の実数解はこの範囲外にある（境界上の解も含む）場合 条件は $g(0)g(1) \leqq 0$ である。

$$ q(p - 1 + q) \leqq 0 $$

これを満たす $(p, q)$ の範囲は、$p > 0$ であることを考慮すると、

$$ \begin{cases} q \geqq 0 \\ q \leqq 1 - p \end{cases} \quad \text{（このとき $0 < p \leqq 1$）} \quad \text{または} \quad \begin{cases} q \leqq 0 \\ q \geqq 1 - p \end{cases} \quad \text{（このとき $p \geqq 1$）} $$

よって、 $0 < p \leqq 1$ のとき： $0 \leqq q \leqq 1 - p$ $p \geqq 1$ のとき： $1 - p \leqq q \leqq 0$ となる。

[2] $0 \leqq x \leqq 1$ に2つの実数解（重解を含む）をもつ場合 判別式を $D$ とすると、満たすべき条件は以下の4つである。 (1) 判別式 $D = 1 - 4pq \geqq 0 \iff q \leqq \frac{1}{4p}$ (2) 軸の位置 $0 \leqq \frac{1}{2p} \leqq 1 \iff p \geqq \frac{1}{2}$ (3) 端点の値 $g(0) = q \geqq 0$ (4) 端点の値 $g(1) = p - 1 + q \geqq 0 \iff q \geqq 1 - p$

これらを同時に満たす $(p, q)$ の範囲は、$p \geqq \frac{1}{2}$ において $\frac{1}{2} \leqq p \leqq 1$ のとき： $1 - p \leqq q \leqq \frac{1}{4p}$ $p \geqq 1$ のとき： $0 \leqq q \leqq \frac{1}{4p}$ となる。

[1], [2] の領域の和集合をとる。各 $p$ の範囲ごとに整理すると、・$0 < p \leqq \frac{1}{2}$ のとき： [1] より $0 \leqq q \leqq 1 - p$ ・$\frac{1}{2} < p \leqq 1$ のとき： [1] より $0 \leqq q \leqq 1 - p$、[2] より $1 - p \leqq q \leqq \frac{1}{4p}$ であり、合わせると $0 \leqq q \leqq \frac{1}{4p}$ ・$p > 1$ のとき： [1] より $1 - p \leqq q \leqq 0$、[2] より $0 \leqq q \leqq \frac{1}{4p}$ であり、合わせると $1 - p \leqq q \leqq \frac{1}{4p}$

結果として、解法1と同じ条件式が得られる。

解説

「曲線と線分が共有点をもつ」という図形的な条件を、方程式の実数解の存在条件に帰着させるのが基本方針である。このような「特定の区間内に解をもつ条件」を処理する場合、2次関数のグラフの配置（軸、判別式、端点の値）に着目するのが定石である（解法2）。しかし、本問のように定数 $q$ が単独で分離できる場合は、「定数分離」を用いると非常に見通しが良くなる（解法1）。解法1は $q$ 以外の方程式の形が固定されるため、場合分けの煩雑さを減らすことができる。また、領域を図示する際は、直線 $q = 1 - p$ と曲線 $q = \frac{1}{4p}$ が $p = \frac{1}{2}$ において接している（点 $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ が接点となる）ことに注意して境界線を描くとよい。

答え

点 $(p, q)$ の存在範囲は、以下の連立不等式で表される領域である。

これを $pq$ 平面上に図示すると、横軸を $p$ 軸、縦軸を $q$ 軸として、以下の境界線で囲まれた範囲となる。

直線 $q = 0 \ (0 < p \leqq 1)$
直線 $q = 1 - p \ (0 < p \leqq \frac{1}{2} \text{ および } p \geqq 1)$
曲線 $q = \frac{1}{4p} \ (p \geqq \frac{1}{2})$

領域は、上側を $q = 1 - p \ (0 < p \leqq \frac{1}{2})$ および $q = \frac{1}{4p} \ (p \geqq \frac{1}{2})$ で、下側を $q = 0 \ (0 < p \leqq 1)$ および $q = 1 - p \ (p \geqq 1)$ で囲まれた部分である。境界線はすべて含むが、$p > 0$ であるため $p$ 軸上の $p \leqq 0$ の部分は含まない。直線 $q = 1 - p$ と曲線 $q = \frac{1}{4p}$ は点 $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ で接する。