京都大学 1970年 理系 第1問 解説

方針・初手

与えられた関数 $g(x)$ を商の微分法を用いて微分し、$x=a$ における微分係数 $g'(a)$ を求める。一方で、曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(a, f(a))$ における接線の方程式を立て、それが点 $(c, 0)$ を通るという条件から関係式を導出し、$g'(a)$ の式に適用する。

解法1

関数 $g(x) = \frac{f(x)}{x - c}$ を $x$ について微分すると、商の微分法により

$$ g'(x) = \frac{f'(x)(x - c) - f(x) \cdot 1}{(x - c)^2} $$

となる。

したがって、$x = a$ における微分係数 $g'(a)$ は、$a \neq c$ より

$$ g'(a) = \frac{f'(a)(a - c) - f(a)}{(a - c)^2} $$

と表される。

次に、曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(a, f(a))$ における接線の方程式は

$$ y - f(a) = f'(a)(x - a) $$

すなわち

$$ y = f'(a)(x - a) + f(a) $$

である。

この接線が点 $(c, 0)$ を通ることから、

$$ 0 = f'(a)(c - a) + f(a) $$

が成り立つ。

これを変形すると、

$$ f'(a)(a - c) - f(a) = 0 $$

となる。

この関係式を先ほど求めた $g'(a)$ の式の分子に代入すると、

$$ g'(a) = \frac{0}{(a - c)^2} = 0 $$

が得られる。

解説

接線の方程式の立式と、商の微分法の基本的な計算を問う問題である。

関数 $g(x) = \frac{f(x)}{x - c}$ は、幾何学的には曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(x, f(x))$ と定点 $(c, 0)$ を結ぶ直線の傾きを表している。

問題の条件である「点 $(a, f(a))$ における接線が点 $(c, 0)$ を通る」ということは、「点 $(a, f(a))$ と点 $(c, 0)$ を結ぶ直線が、点 $(a, f(a))$ における接線に一致する」ということを意味する。したがって、その傾きについて

$$ \frac{f(a)}{a - c} = f'(a) $$

が成り立つ。これを分母を払って変形したものが、計算過程で現れた分子の式 $f'(a)(a - c) - f(a) = 0$ に他ならない。

答え

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