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京都大学 2014年文系第2問解説

方針・初手

(1) 接点の $x$ 座標を $k$ とおいて接線の方程式を立て、それが点 $P(1, t)$ を通る条件から $k$ についての 3 次方程式を導く。この方程式の実数解の個数が接線の本数に一致するため、実数解がただ 1 つとなる $t$ の範囲を求める。
(2) 接線と曲線の交点を求め、$\dfrac{1}{12}$ 公式を用いて面積 $S$ を $k$ の関数として表す。その後、(1) の結果から $k$ のとりうる範囲を求め、$S$ の値域を決定する。

解法1

(1)

$C: y = x^3 - x$ について $y' = 3x^2 - 1$。接点の $x$ 座標を $k$ とおくと、接線の方程式は

$$ y = (3k^2 - 1)x - 2k^3 $$

この接線が $P(1, t)$ を通るから、

$$ t = 3k^2 - 1 - 2k^3 \iff g(k) = t \quad \cdots \textcircled{1} $$

ただし $g(k) = -2k^3 + 3k^2 - 1$。

$$ g'(k) = -6k(k-1) $$

増減表より $k=0$ で極小値 $g(0) = -1$、$k=1$ で極大値 $g(1) = 0$。

直線 $y = t$ が $y = g(k)$ とただ 1 つの共有点を持つ条件は、$t$ が極小値より小さいまたは極大値より大きいことである。

$$ t < -1 \quad \text{または} \quad 0 < t $$

(2)

(k の範囲の決定)

$t < -1$ のとき $g(k) < -1$、すなわち $-2k^3 + 3k^2 < 0$。

$$ k^2(-2k+3) < 0 \implies k > \frac{3}{2} \quad (k \neq 0) $$

$t > 0$ のとき $g(k) > 0$、すなわち $-(k-1)^2(2k+1) > 0$。

$$ k < -\frac{1}{2} \quad (k \neq 1) $$

よって $k < -\dfrac{1}{2}$ または $k > \dfrac{3}{2}$。

(面積の計算)

曲線と接線の差：

$$ x^3 - x - \{(3k^2-1)x - 2k^3\} = x^3 - 3k^2x + 2k^3 = (x-k)^2(x+2k) $$

接点以外の交点は $x = -2k$。$\dfrac{1}{12}$ 公式より、

$$ S = \frac{1}{12}|k - (-2k)|^4 = \frac{|3k|^4}{12} = \frac{27k^4}{4} $$

(S の値域)

$k < -\dfrac{1}{2}$ のとき $k^4 > \dfrac{1}{16}$
$k > \dfrac{3}{2}$ のとき $k^4 > \dfrac{81}{16} > \dfrac{1}{16}$

いずれも境界値は除かれるから、$k^4$ のとりうる範囲は $k^4 > \dfrac{1}{16}$。

$$ S(t) = \frac{27k^4}{4} > \frac{27}{4} \cdot \frac{1}{16} = \frac{27}{64} $$

解説

(1) は 3 次関数のグラフにおける「接線の本数＝接点の個数」という性質を利用する定石問題である。定数分離してグラフの交点として捉えると視覚的に分かりやすい。

(2) では面積の計算に $\dfrac{1}{12}$ 公式（3 次関数とその接線で囲まれた面積）を知っていると計算量が劇的に減る。(1) の結果から $t$ の範囲が分かるが、面積 $S(t)$ は接点の $x$ 座標 $k$ の関数として立式されるため、「$t$ の範囲から $k$ の範囲に変換する」プロセスが本問の最大のポイントとなる。