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東京工業大学 2011年理系第2問解説

方針・初手

絶対値を含む定積分なので、まずは積分区間内における絶対値の中身の符号を調べる。倍角の公式を用いて式を因数分解し、実数 $x$ の値によって符号の切り替わりがどのように変化するかに着目して場合分けを行う。

解法1

$$ f(x) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\cos t - x \sin 2t| dt $$

被積分関数の絶対値の中身について、倍角の公式 $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ を用いると、

$$ \cos t - x \sin 2t = \cos t - 2x \sin t \cos t = \cos t (1 - 2x \sin t) $$

と変形できる。積分区間 $0 \le t \le \frac{\pi}{2}$ において $\cos t \ge 0$ であるから、絶対値の中身の符号は $1 - 2x \sin t$ の符号と一致する。したがって、$2x \sin t$ と $1$ の大小関係、すなわち $x$ の値によって場合分けを行う。

(i)

$x \le \frac{1}{2}$ のとき

$0 \le t \le \frac{\pi}{2}$ において $0 \le \sin t \le 1$ であり、条件より $2x \le 1$ であるから、

$$ 2x \sin t \le 2x \le 1 $$

となり、常に $1 - 2x \sin t \ge 0$ が成り立つ。よって、絶対値の記号はそのまま外すことができ、

$$ f(x) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos t - x \sin 2t) dt $$

$$ = \left[ \sin t + \frac{x}{2} \cos 2t \right]_0^{\frac{\pi}{2}} $$

$$ = \left( \sin \frac{\pi}{2} + \frac{x}{2} \cos \pi \right) - \left( \sin 0 + \frac{x}{2} \cos 0 \right) $$

$$ = \left( 1 - \frac{x}{2} \right) - \frac{x}{2} = 1 - x $$

(ii)

$x > \frac{1}{2}$ のとき

$2x > 1$ であるから、$1 - 2x \sin t = 0$、すなわち $\sin t = \frac{1}{2x}$ を満たす $t$ が区間 $0 < t < \frac{\pi}{2}$ 内にただ1つ存在する。これを $\alpha$ とおく。

$$ \sin \alpha = \frac{1}{2x} \quad \left( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \right) $$

このとき、 $0 \le t \le \alpha$ では $\sin t \le \sin \alpha$ より $1 - 2x \sin t \ge 0$ $\alpha \le t \le \frac{\pi}{2}$ では $\sin t \ge \sin \alpha$ より $1 - 2x \sin t \le 0$ となる。したがって、区間を分けて絶対値を外すと、

$$ f(x) = \int_0^\alpha (\cos t - x \sin 2t) dt - \int_\alpha^{\frac{\pi}{2}} (\cos t - x \sin 2t) dt $$

$$ = \left[ \sin t + \frac{x}{2} \cos 2t \right]_0^\alpha - \left[ \sin t + \frac{x}{2} \cos 2t \right]_\alpha^{\frac{\pi}{2}} $$

$$ = 2 \left( \sin \alpha + \frac{x}{2} \cos 2\alpha \right) - \left( \sin 0 + \frac{x}{2} \cos 0 \right) - \left( \sin \frac{\pi}{2} + \frac{x}{2} \cos \pi \right) $$

ここで、$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$ であり、$\sin \alpha = \frac{1}{2x}$ を代入して計算すると、

$$ \sin \alpha + \frac{x}{2} \cos 2\alpha = \frac{1}{2x} + \frac{x}{2} \left( 1 - 2 \left( \frac{1}{2x} \right)^2 \right) $$

$$ = \frac{1}{2x} + \frac{x}{2} - \frac{1}{4x} = \frac{x}{2} + \frac{1}{4x} $$

となる。これを代入して整理すると、

$$ f(x) = 2 \left( \frac{x}{2} + \frac{1}{4x} \right) - \frac{x}{2} - \left( 1 - \frac{x}{2} \right) $$

$$ = x + \frac{1}{2x} - 1 $$

以上（i）, （ii）より、

$$ f(x) = \begin{cases} 1 - x & \left( x \le \frac{1}{2} \right) \\ x + \frac{1}{2x} - 1 & \left( x > \frac{1}{2} \right) \end{cases} $$

(1)

$f(x)$ の最小値を求める。

$x \le \frac{1}{2}$ のとき、$f(x) = 1 - x$ は単調減少であり、$f(x) \ge f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$ をとる。

$x > \frac{1}{2}$ のとき、$x > 0$ かつ $\frac{1}{2x} > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$ x + \frac{1}{2x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{2x}} = 2 \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} $$

等号が成立するのは $x = \frac{1}{2x}$ すなわち $x^2 = \frac{1}{2}$ のときであり、$x > \frac{1}{2}$ を考慮すると $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のときである。よって、この範囲での最小値は $f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2} - 1$ である。

ここで、$\sqrt{2} - 1 < 1.5 - 1 = \frac{1}{2}$ であるから、全体の最小値は $\sqrt{2} - 1$ となる。

(2) 定積分の計算

求めた $f(x)$ の表式より、積分区間 $0 \le x \le 1$ を $x = \frac{1}{2}$ で分割して計算する。

$$ \int_0^1 f(x) dx = \int_0^{\frac{1}{2}} f(x) dx + \int_{\frac{1}{2}}^1 f(x) dx $$

$$ = \int_0^{\frac{1}{2}} (1 - x) dx + \int_{\frac{1}{2}}^1 \left( x + \frac{1}{2x} - 1 \right) dx $$

前半の積分は、

$$ \int_0^{\frac{1}{2}} (1 - x) dx = \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_0^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8} $$

後半の積分は、

$$ \int_{\frac{1}{2}}^1 \left( x + \frac{1}{2x} - 1 \right) dx = \left[ \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} \log x - x \right]_{\frac{1}{2}}^1 $$

$$ = \left( \frac{1}{2} + 0 - 1 \right) - \left( \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \log \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \right) $$

$$ = -\frac{1}{2} - \left( -\frac{3}{8} - \frac{1}{2} \log 2 \right) = -\frac{1}{8} + \frac{1}{2} \log 2 $$

よって、求める定積分は、

$$ \int_0^1 f(x) dx = \frac{3}{8} + \left( -\frac{1}{8} + \frac{1}{2} \log 2 \right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \log 2 $$

解説

絶対値を含む定積分関数を定義し、さらにその関数の最小値や定積分を求める典型的な微積分・関数問題である。被積分関数において、どの変数が積分変数でどの変数が定数扱いになるか（ここでは $t$ が積分変数で、$x$ は定数）を混同しないことが重要である。絶対値を外す際の場合分けの境界が $x = \frac{1}{2}$ となることを見極め、丁寧に積分計算を遂行する力が問われる。 (1)の $x > \frac{1}{2}$ における最小値を求めるにあたっては、相加相乗平均の大小関係を用いると簡潔に求めることができる。微分して増減表を書いても計算量に大きな差はないため、確実に答えが出せる手法を選択したい。