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京都大学 1978年理系第6問解説

方針・初手

（i）は三角関数の加法定理を用いた積和の公式の証明と、それを利用した定積分である。異なる自然数に対する $\sin$ 関数の積の積分が $0$ になるという、関数の直交性を示す。（ii）は $f(k)$ の被積分関数を展開し、（i）の結果を適用して積分を計算する。その後、総和 $E$ を $a, b$ についての式として整理し、平方完成を用いて最小値を調べる。係数として現れる確率の式 $p(k)$ が最大となるような $m, n$ を選ぶ。

解法1

(i) 三角関数の加法定理より、以下の2式が成り立つ。

$$ \cos(m - n)x = \cos mx \cos nx + \sin mx \sin nx $$

$$ \cos(m + n)x = \cos mx \cos nx - \sin mx \sin nx $$

上式から下式を辺々引くと、

$$ \cos(m - n)x - \cos(m + n)x = 2 \sin mx \sin nx $$

両辺を $2$ で割ることで、与えられた等式が示される。

$$ \sin mx \sin nx = \frac{1}{2} \{ \cos(m - n)x - \cos(m + n)x \} $$

次に $I_{m,n}$ を求める。$m, n$ は自然数である。 $m \neq n$ のとき、$m - n \neq 0$ かつ $m + n \neq 0$ であるため、

$$ \begin{aligned} I_{m,n} &= \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \{ \cos(m - n)x - \cos(m + n)x \} dx \\ &= \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin(m - n)x}{m - n} - \frac{\sin(m + n)x}{m + n} \right]_{-\pi}^{\pi} \\ &= 0 \end{aligned} $$

$m = n$ のとき、$\cos(m - n)x = \cos 0 = 1$ であるため、

$$ \begin{aligned} I_{m,m} &= \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \{ 1 - \cos 2mx \} dx \\ &= \frac{1}{2} \left[ x - \frac{\sin 2mx}{2m} \right]_{-\pi}^{\pi} \\ &= \pi \end{aligned} $$

以上より、

$$ I_{m,n} = \begin{cases} 0 & (m \neq n \text{ のとき}) \\ \pi & (m = n \text{ のとき}) \end{cases} $$

(ii) $f(k)$ の被積分関数を展開し、項別に積分する。

$$ \begin{aligned} (\sin kx - a \sin mx - b \sin nx)^2 &= \sin^2 kx + a^2 \sin^2 mx + b^2 \sin^2 nx \\ &\quad - 2a \sin kx \sin mx - 2b \sin kx \sin nx + 2ab \sin mx \sin nx \end{aligned} $$

したがって、各項の積分を $I$ を用いて表すと、

$$ f(k) = I_{k,k} + a^2 I_{m,m} + b^2 I_{n,n} - 2a I_{k,m} - 2b I_{k,n} + 2ab I_{m,n} $$

ここで、$k$ は $0 \leqq k \leqq 5$ の整数、$m, n$ は自然数（$1$ 以上の整数）である。自然数 $l$ に対して、$q_l = \sum_{k=0}^{5} p(k) I_{k,l}$ とおく。 $I_{k,l}$ は $k=l$ のときのみ $\pi$、それ以外のときは $0$ となる。よって、$1 \leqq l \leqq 5$ のときは $q_l = p(l)\pi$ となり、$l \geqq 6$ のときは $q_l = 0$ となる。

また、$I_{0,0} = 0$ であり、$k \geqq 1$ のときは $I_{k,k} = \pi$ である。二項定理より $\sum_{k=0}^{5} p(k) = \sum_{k=0}^{5} {}_{5}\mathrm{C}_{k} \left(\frac{1}{2}\right)^k \left(\frac{1}{2}\right)^{5-k} = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right)^5 = 1$ であることを用いると、

$$ \sum_{k=0}^{5} p(k) I_{k,k} = p(0) \cdot 0 + \sum_{k=1}^{5} p(k) \pi = \pi \left( 1 - p(0) \right) = \pi \left( 1 - \frac{1}{32} \right) = \frac{31}{32}\pi $$

$E$ の式を整理するために、$m \neq n$ の場合と $m = n$ の場合で分ける。

(ア) $m \neq n$ のとき $I_{m,n} = 0, I_{m,m} = \pi, I_{n,n} = \pi$ である。

$$ \begin{aligned} E &= \sum_{k=0}^{5} p(k) \{ I_{k,k} + a^2 \pi + b^2 \pi - 2a I_{k,m} - 2b I_{k,n} \} \\ &= \frac{31}{32}\pi + \pi a^2 + \pi b^2 - 2a q_m - 2b q_n \\ &= \pi \left( a - \frac{q_m}{\pi} \right)^2 + \pi \left( b - \frac{q_n}{\pi} \right)^2 + \frac{31}{32}\pi - \frac{q_m^2}{\pi} - \frac{q_n^2}{\pi} \end{aligned} $$

$a, b$ が実数全体を動くとき、$E$ は $a = \frac{q_m}{\pi}, b = \frac{q_n}{\pi}$ のときに最小値 $\frac{31}{32}\pi - \frac{q_m^2 + q_n^2}{\pi}$ をとる。この最小値をさらに小さくするには、$q_m^2 + q_n^2$ が最大となるような自然数 $m, n$ を選べばよい。 $p(k)$ の値を具体的に計算すると、

$$ p(1) = \frac{5}{32}, \quad p(2) = \frac{10}{32}, \quad p(3) = \frac{10}{32}, \quad p(4) = \frac{5}{32}, \quad p(5) = \frac{1}{32} $$

$q_l / \pi$ の値は $l \geqq 6$ で $0$、$1 \leqq l \leqq 5$ で $p(l)$ となるため、最大値は $l=2, 3$ のときの $\frac{10}{32} = \frac{5}{16}$ である。 $m \neq n$ という条件のもとで $q_m^2 + q_n^2$ が最大となるのは、$\{m, n\} = \{2, 3\}$ のときである。このとき、最小値は $\frac{31}{32}\pi - \pi \left( \frac{10}{32} \right)^2 \times 2 = \frac{992 - 200}{1024}\pi = \frac{99}{128}\pi$ となる。

(イ) $m = n$ のとき $I_{m,n} = I_{m,m} = \pi$ である。

$$ \begin{aligned} E &= \sum_{k=0}^{5} p(k) \{ I_{k,k} + a^2 \pi + b^2 \pi - 2(a+b) I_{k,m} + 2ab \pi \} \\ &= \sum_{k=0}^{5} p(k) \{ I_{k,k} + (a+b)^2 \pi - 2(a+b) I_{k,m} \} \\ &= \frac{31}{32}\pi + \pi (a+b)^2 - 2(a+b) q_m \\ &= \pi \left( a+b - \frac{q_m}{\pi} \right)^2 + \frac{31}{32}\pi - \frac{q_m^2}{\pi} \end{aligned} $$

$E$ は $a+b = \frac{q_m}{\pi}$ のときに最小値 $\frac{31}{32}\pi - \frac{q_m^2}{\pi}$ をとる。これを最小にする $m$ は、$q_m$ が最大となる $m=2$ または $m=3$ である。このとき、最小値は $\frac{31}{32}\pi - \pi \left( \frac{10}{32} \right)^2 = \frac{992 - 100}{1024}\pi = \frac{223}{256}\pi$ となる。

(ア), (イ) の最小値を比較すると、

$$ \frac{99}{128}\pi = \frac{198}{256}\pi < \frac{223}{256}\pi $$

であるため、$m \neq n$ のときの方が $E$ はより小さくなる。

以上より、$E$ を最小にする組は $\{m, n\} = \{2, 3\}$ であり、そのとき $a = b = \frac{5}{16}$ である。

解説

三角関数の直交性（フーリエ級数の基礎）を利用した最小化問題である。（i）で導いた積分結果は、異なる周期の波の積を1周期分積分すると $0$ になるという性質を表している。この性質により、（ii）の複雑な2乗の展開式の積分が劇的に簡略化される。積分後の関数 $E$ は $a, b$ についての2次式になるため、独立な変数ごとに平方完成して最小値を求めるのが定石である。係数に現れる $p(k)$ は二項分布 $B(5, \frac{1}{2})$ の確率と同じ形をしており、その確率が最大となる $k=2, 3$ を選ぶことがポイントになる。