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京都大学 1997年理系第6問解説

方針・初手

（1）点 $(t, \cos t)$ における接線の方程式を求め、$x$ 軸および $y$ 軸との交点を求めて三角形の面積を立式します。
（2）面積 $S(t)$ を微分して増減を調べます。導関数の符号変化が、ある関数（例えば $g(t) = t\sin t - \cos t$）の符号変化に帰着されることを確認し、中間値の定理を用いてその関数が特定の区間で $0$ となることを示します。
（3）（2）で得られた関係式を利用して $S(t_0)$ の式を簡単にします。後半の不等式は、簡単になった $S(t_0)$ の式と同じ形をした関数 $h(t)$ を定義し、その関数の増減と $t_0 > \frac{\pi}{4}$ であることを結びつけて評価します。

解法1

(1)

$y = \cos x$ を微分すると $y' = -\sin x$ となる。曲線上の点 $(t, \cos t)$ における接線の方程式は、

$$ y - \cos t = -\sin t \cdot (x - t) $$

$$ y = -(\sin t)x + t\sin t + \cos t $$

この接線と $x$ 軸（$y=0$）との交点の $x$ 座標は、$0 < t < \frac{\pi}{2}$ より $\sin t > 0$ であるから、

$$ (\sin t)x = t\sin t + \cos t \iff x = t + \frac{\cos t}{\sin t} $$

接線と $y$ 軸（$x=0$）との交点の $y$ 座標は、

$$ y = t\sin t + \cos t $$

$0 < t < \frac{\pi}{2}$ において、$t > 0$, $\sin t > 0$, $\cos t > 0$ であるため、これら $x$ 切片と $y$ 切片はともに正である。したがって、求める三角形の面積 $S(t)$ は、

$$ S(t) = \frac{1}{2} \left( t + \frac{\cos t}{\sin t} \right) (t\sin t + \cos t) $$

$$ S(t) = \frac{1}{2} \left( \frac{t\sin t + \cos t}{\sin t} \right) (t\sin t + \cos t) $$

$$ S(t) = \frac{(t\sin t + \cos t)^2}{2\sin t} $$

(2)

$S(t)$ を $t$ で微分する。商の微分公式を用いると、

$$ S'(t) = \frac{2(t\sin t + \cos t)(\sin t + t\cos t - \sin t) \cdot 2\sin t - (t\sin t + \cos t)^2 \cdot 2\cos t}{4\sin^2 t} $$

$$ S'(t) = \frac{4t\cos t\sin t(t\sin t + \cos t) - 2\cos t(t\sin t + \cos t)^2}{4\sin^2 t} $$

分子を $2\cos t(t\sin t + \cos t)$ でくくると、

$$ S'(t) = \frac{2\cos t(t\sin t + \cos t) \{ 2t\sin t - (t\sin t + \cos t) \}}{4\sin^2 t} $$

$$ S'(t) = \frac{\cos t(t\sin t + \cos t)(t\sin t - \cos t)}{2\sin^2 t} $$

ここで、$0 < t < \frac{\pi}{2}$ において、$\cos t > 0$, $t\sin t + \cos t > 0$, $\sin^2 t > 0$ であるから、$S'(t)$ の符号は $t\sin t - \cos t$ の符号と一致する。 $g(t) = t\sin t - \cos t$ とおく。

$$ g'(t) = (\sin t + t\cos t) - (-\sin t) = 2\sin t + t\cos t $$

$0 < t < \frac{\pi}{2}$ において $g'(t) > 0$ であるから、$g(t)$ はこの区間で単調に増加する。また、両端の極限を考えると、$g(0) = -1 < 0$, $g\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} > 0$ であるから、中間値の定理より $g(t) = 0$ となる $t$ が区間 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ にただ1つ存在する。この値を $t_0$ とする。増減表は以下のようになる。

$t$	$0$	$\cdots$	$t_0$	$\cdots$	$\frac{\pi}{2}$
$S'(t)$		$-$	$0$	$+$
$S(t)$		$\searrow$	極小かつ最小	$\nearrow$

したがって、$S(t)$ はある1点 $t = t_0$ で最小値をとる。

さらに、$\frac{\pi}{4}$ と $1$ における $g(t)$ の符号を調べる。 $\pi < 4$ より $\frac{\pi}{4} - 1 < 0$ であるから、

$$ g\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{4} - \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( \frac{\pi}{4} - 1 \right) < 0 $$

また、$0 < \frac{\pi}{4} < 1 < \frac{\pi}{2}$ であり、この区間では $\sin 1 > \cos 1$ が成り立つため、

$$ g(1) = 1 \cdot \sin 1 - \cos 1 = \sin 1 - \cos 1 > 0 $$

$g(t)$ は単調増加であるから、$g\left(\frac{\pi}{4}\right) < 0 < g(1)$ より、$\frac{\pi}{4} < t_0 < 1$ が示された。

(3)

$t_0$ は $g(t_0) = 0$ を満たすので、

$$ t_0\sin t_0 - \cos t_0 = 0 \iff \cos t_0 = t_0\sin t_0 $$

これを $S(t_0)$ の式に代入する。

$$ S(t_0) = \frac{(t_0\sin t_0 + \cos t_0)^2}{2\sin t_0} = \frac{(\cos t_0 + \cos t_0)^2}{2\sin t_0} = \frac{4\cos^2 t_0}{2\sin t_0} = 2\cos t_0 \cdot \frac{\cos t_0}{\sin t_0} $$

ここで、$t_0\sin t_0 = \cos t_0$ より $\frac{\cos t_0}{\sin t_0} = t_0$ であるから、これを代入して、

$$ S(t_0) = 2\cos t_0 \cdot t_0 = 2t_0\cos t_0 $$

となり、前半が示された。

次に、関数 $h(t) = 2t\cos t$ を考える。$h(t)$ を微分すると、

$$ h'(t) = 2(\cos t - t\sin t) = -2(t\sin t - \cos t) = -2g(t) $$

（2）の議論より、$0 < t < t_0$ において $g(t) < 0$ であるから、$h'(t) > 0$ となる。すなわち、$h(t)$ は区間 $0 < t \leqq t_0$ において単調に増加する。（2）より $\frac{\pi}{4} < t_0$ であるから、

$$ h(t_0) > h\left(\frac{\pi}{4}\right) $$

が成り立つ。ここで、$h(t_0) = 2t_0\cos t_0 = S(t_0)$ であり、

$$ h\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}\pi $$

であるから、

$$ S(t_0) > \frac{\sqrt{2}}{4}\pi $$

が示された。

解説

（2）のように、導関数の符号変化を別の関数の符号変化にすり替えて調べる手法は、微分法の応用問題において非常に頻出です。無理に $S'(t) = 0$ を解こうとするのではなく、「単調増加かつ符号が変わる」ことを中間値の定理を用いて論証するアプローチに慣れておきましょう。
（3）は誘導が見事な問題です。前半で $S(t_0) = 2t_0\cos t_0$ とシンプルに表せることを示し、後半では「$t_0$ は $\frac{\pi}{4}$ より大きい」という（2）の結果と、「関数 $2t\cos t$ は $t_0$ まで単調増加する」という事実を組み合わせて不等式を鮮やかに証明させています。