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九州大学 2001年理系第7問解説

方針・初手

接線と $x$ 軸のなす角が $\theta(t)$ であることから、接線の傾きについて $f'(t) = \tan \theta(t)$ という関係式が成り立つ。 (1) はこの関係式の両辺を $t$ で微分することで $\theta'(t)$ を評価する。 (2) は接線の方向ベクトルから法線の単位ベクトルを求め、「下側」という条件を満たすように符号を決定する。 (3) は曲線の長さ（弧長）の公式に従って積分を計算する。その際、(2) で求めた $\alpha(t), \beta(t)$ の導関数を計算し、整理していく。

解法1

(1)

点 $P(t, f(t))$ における接線の傾きは $f'(t)$ である。接線と $x$ 軸のなす角が $\theta(t)$ であるから、

$$f'(t) = \tan \theta(t)$$

が成り立つ。この両辺を $t$ について微分すると、合成関数の微分法より、

$$f''(t) = \frac{1}{\cos^2 \theta(t)} \cdot \theta'(t)$$

となる。これを $\theta'(t)$ について解くと、

$$\theta'(t) = f''(t) \cos^2 \theta(t)$$

となる。問題の仮定より、第2次導関数はつねに正であるから $f''(t) > 0$ である。また、$-\frac{\pi}{2} < \theta(t) < \frac{\pi}{2}$ より $\cos \theta(t) > 0$ であるから、$\cos^2 \theta(t) > 0$ である。したがって、つねに $\theta'(t) > 0$ となり、$\theta(t)$ はつねに増加することが示された。

(2)

点 $P(t, f(t))$ における接線と同じ方向の単位ベクトルの一つは、$\vec{u} = (\cos \theta(t), \sin \theta(t))$ と表せる。法線は接線に垂直であるから、法線方向の単位ベクトルは、$\vec{u}$ との内積が $0$ となる以下の2つのいずれかである。

$$(-\sin \theta(t), \cos \theta(t)) \quad \text{または} \quad (\sin \theta(t), -\cos \theta(t))$$

点 $Q$ は $G$ の下側にとる、すなわち点 $P$ から $y$ 座標が小さくなる方向へ進むため、$Q$ へ向かう法線ベクトルは $y$ 成分が負でなければならない。 $-\frac{\pi}{2} < \theta(t) < \frac{\pi}{2}$ よりつねに $\cos \theta(t) > 0$ であるから、$-\cos \theta(t) < 0$ となる。したがって、求める法線の単位ベクトル $\vec{n}$ は、

$$\vec{n} = (\sin \theta(t), -\cos \theta(t))$$

である。点 $Q$ は点 $P$ から法線方向に距離 $1$ の点であるため、$\vec{OQ} = \vec{OP} + \vec{n}$ が成り立つ。ゆえに、

$$\begin{aligned} \alpha(t) &= t + \sin \theta(t) \\ \beta(t) &= f(t) - \cos \theta(t) \end{aligned}$$

となる。

(3)

点 $P(t, f(t))$ が描く曲線の長さ $L_1$ は、曲線の長さの公式より、

$$L_1 = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dt}{dt}\right)^2 + \left(\frac{df(t)}{dt}\right)^2} dt = \int_a^b \sqrt{1 + \{f'(t)\}^2} dt$$

と表される。$f'(t) = \tan \theta(t)$ であり、$1 + \tan^2 \theta(t) = \frac{1}{\cos^2 \theta(t)}$ であるから、

$$L_1 = \int_a^b \sqrt{\frac{1}{\cos^2 \theta(t)}} dt = \int_a^b \frac{1}{\cos \theta(t)} dt$$

となる（$\cos \theta(t) > 0$ より絶対値はそのまま外れる）。

次に、点 $Q(\alpha(t), \beta(t))$ が描く曲線の長さ $L_2$ を求める。

$$L_2 = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{d\alpha(t)}{dt}\right)^2 + \left(\frac{d\beta(t)}{dt}\right)^2} dt$$

ここで、被積分関数の根号の中身を計算するために、$\alpha(t), \beta(t)$ をそれぞれ $t$ で微分する。

$$\begin{aligned} \frac{d\alpha(t)}{dt} &= 1 + \theta'(t) \cos \theta(t) \\ &= \cos \theta(t) \left( \frac{1}{\cos \theta(t)} + \theta'(t) \right) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \frac{d\beta(t)}{dt} &= f'(t) + \theta'(t) \sin \theta(t) \\ &= \tan \theta(t) + \theta'(t) \sin \theta(t) \\ &= \frac{\sin \theta(t)}{\cos \theta(t)} + \theta'(t) \sin \theta(t) \\ &= \sin \theta(t) \left( \frac{1}{\cos \theta(t)} + \theta'(t) \right) \end{aligned}$$

したがって、2乗和をとると共通因数でくくることができ、

$$\begin{aligned} \left(\frac{d\alpha(t)}{dt}\right)^2 + \left(\frac{d\beta(t)}{dt}\right)^2 &= \left\{ \cos^2 \theta(t) + \sin^2 \theta(t) \right\} \left( \frac{1}{\cos \theta(t)} + \theta'(t) \right)^2 \\ &= \left( \frac{1}{\cos \theta(t)} + \theta'(t) \right)^2 \end{aligned}$$

となる。$\cos \theta(t) > 0$ かつ (1) より $\theta'(t) > 0$ であるため、$\frac{1}{\cos \theta(t)} + \theta'(t) > 0$ である。よって、

$$L_2 = \int_a^b \left( \frac{1}{\cos \theta(t)} + \theta'(t) \right) dt$$

となる。以上から、求める差 $L_2 - L_1$ は、

$$\begin{aligned} L_2 - L_1 &= \int_a^b \left( \frac{1}{\cos \theta(t)} + \theta'(t) \right) dt - \int_a^b \frac{1}{\cos \theta(t)} dt \\ &= \int_a^b \theta'(t) dt \\ &= \Big[ \theta(t) \Big]_a^b \\ &= \theta(b) - \theta(a) \end{aligned}$$

となる。

解説

曲線の長さ（弧長）の公式を用いた微積分の計算問題である。接線の傾きと角の関係 $f'(t) = \tan \theta(t)$ を立式し、適切に合成関数の微分を行えるかがポイントとなる。 (2) の「下側」の解釈は、法線の単位ベクトルにおいて $y$ 成分が負であるものを選べばよい。図を描いて直感的に確かめることも可能であるが、単位ベクトルを成分で表示して数式的に処理する方が論理の飛躍がなく、符号ミスも防げる。 (3) の計算では、$\alpha(t), \beta(t)$ の微分を計算して2乗和を求める過程において、共通因数 $\frac{1}{\cos \theta(t)} + \theta'(t)$ でくくるという計算の工夫を行うと、式が非常にきれいに整理される。