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京都大学 2002年理系第4問解説

方針・初手

(1)は合成関数の微分法を丁寧に計算します。結果がきれいな式になることは、積分計算における有名な公式として知られています。(2)は曲線の長さの計算です。極方程式で与えられた曲線を、直交座標の媒介変数表示に直してから長さを求めるか、極方程式における曲線の長さの公式を用います。いずれにせよ $\int \sqrt{\theta^2+1} \, d\theta$ の計算に帰着するため、部分積分法と(1)の結果を利用して定積分を計算します。

解法1

(1)

関数 $f(x) = \log(x + \sqrt{1+x^2})$ を $x$ で微分する。合成関数の微分法により、

$$\begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{x + \sqrt{1+x^2}} \cdot (x + \sqrt{1+x^2})' \\ &= \frac{1}{x + \sqrt{1+x^2}} \cdot \left( 1 + \frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}} \right) \\ &= \frac{1}{x + \sqrt{1+x^2}} \cdot \left( 1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right) \\ &= \frac{1}{x + \sqrt{1+x^2}} \cdot \frac{\sqrt{1+x^2} + x}{\sqrt{1+x^2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \end{aligned}$$

(2)

極方程式 $r = \theta$ 上の点 $(x, y)$ は、$\theta$ を媒介変数として次のように表される。

$$\begin{cases} x = r \cos \theta = \theta \cos \theta \\ y = r \sin \theta = \theta \sin \theta \end{cases}$$

これらを $\theta$ で微分すると、積の微分法より

$$\begin{cases} \dfrac{dx}{d\theta} = \cos \theta - \theta \sin \theta \\[8pt] \dfrac{dy}{d\theta} = \sin \theta + \theta \cos \theta \end{cases}$$

曲線の長さ $L$ を求めるための被積分関数の中身を計算する。

$$\begin{aligned} \left( \frac{dx}{d\theta} \right)^2 + \left( \frac{dy}{d\theta} \right)^2 &= (\cos \theta - \theta \sin \theta)^2 + (\sin \theta + \theta \cos \theta)^2 \\ &= (\cos^2 \theta - 2\theta \sin\theta\cos\theta + \theta^2 \sin^2 \theta) + (\sin^2 \theta + 2\theta \sin\theta\cos\theta + \theta^2 \cos^2 \theta) \\ &= (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + \theta^2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) \\ &= 1 + \theta^2 \end{aligned}$$

よって、求める曲線の長さ $L$ は次のように立式できる。

$$ L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{\left( \frac{dx}{d\theta} \right)^2 + \left( \frac{dy}{d\theta} \right)^2} \, d\theta = \int_{0}^{\pi} \sqrt{1+\theta^2} \, d\theta $$

ここで、不定積分 $\int \sqrt{1+\theta^2} \, d\theta$ を部分積分法を用いて求める。

$$\begin{aligned} \int \sqrt{1+\theta^2} \, d\theta &= \int 1 \cdot \sqrt{1+\theta^2} \, d\theta \\ &= \theta \sqrt{1+\theta^2} - \int \theta \cdot \frac{\theta}{\sqrt{1+\theta^2}} \, d\theta \\ &= \theta \sqrt{1+\theta^2} - \int \frac{\theta^2 + 1 - 1}{\sqrt{1+\theta^2}} \, d\theta \\ &= \theta \sqrt{1+\theta^2} - \int \sqrt{1+\theta^2} \, d\theta + \int \frac{1}{\sqrt{1+\theta^2}} \, d\theta \end{aligned}$$

右辺の $\int \sqrt{1+\theta^2} \, d\theta$ を左辺に移項して整理すると、

$$ 2 \int \sqrt{1+\theta^2} \, d\theta = \theta \sqrt{1+\theta^2} + \int \frac{1}{\sqrt{1+\theta^2}} \, d\theta $$

(1) の結果から $\int \dfrac{1}{\sqrt{1+\theta^2}} \, d\theta = \log(\theta + \sqrt{1+\theta^2}) + C$ であるため、両辺を $2$ で割って

$$ \int \sqrt{1+\theta^2} \, d\theta = \frac{1}{2} \left\{ \theta \sqrt{1+\theta^2} + \log(\theta + \sqrt{1+\theta^2}) \right\} + C $$

これを先ほどの定積分に適用して長さを計算する。

$$\begin{aligned} L &= \left[ \frac{1}{2} \left\{ \theta \sqrt{1+\theta^2} + \log(\theta + \sqrt{1+\theta^2}) \right\} \right]_{0}^{\pi} \\ &= \frac{1}{2} \left\{ \pi \sqrt{1+\pi^2} + \log(\pi + \sqrt{1+\pi^2}) \right\} - \frac{1}{2} \{ 0 + \log(0 + 1) \} \\ &= \frac{1}{2} \left\{ \pi \sqrt{\pi^2+1} + \log(\pi + \sqrt{\pi^2+1}) \right\} \end{aligned}$$

解法2

(2) の別解（極方程式の曲線の長さの公式を用いる）

極方程式 $r = g(\theta)$ で表される曲線の $\alpha \leqq \theta \leqq \beta$ における長さ $L$ は、次の公式で与えられる。

$$ L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + \left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2} \, d\theta $$

本問では $r = \theta$ であるから、$\dfrac{dr}{d\theta} = 1$ となる。これを公式に代入すると、

$$ L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{\theta^2 + 1} \, d\theta $$

これ以降の積分計算は解法1と同様である。

$$\begin{aligned} L &= \left[ \frac{1}{2} \left\{ \theta \sqrt{\theta^2+1} + \log(\theta + \sqrt{\theta^2+1}) \right\} \right]_{0}^{\pi} \\ &= \frac{1}{2} \left\{ \pi \sqrt{\pi^2+1} + \log(\pi + \sqrt{\pi^2+1}) \right\} \end{aligned}$$

解説

(1)の微分の結果は、$\int \dfrac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} \, dx = \log(x + \sqrt{x^2+a^2}) + C$ という有名な積分公式の証明そのものです。(2)で曲線の長さを求める際にまさにこの形が登場するため、(1)は親切な誘導となっています。

(2)の $\int \sqrt{x^2+a^2} \, dx$ の不定積分は、部分積分を用いて自身と同じ形を登場させる「同形出現」の手法を用いるのが定石です。その過程で $\dfrac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}$ の積分が現れるため、ここで(1)の誘導が機能します。なお、極方程式の曲線の長さの公式は暗記していなくても、解法1のように $x = r \cos \theta, \ y = r \sin \theta$ に直して媒介変数表示の長さの公式に帰着させることで、容易に導出が可能です。