京都大学 2009年 理系 第6問（甲） 解説

方針・初手

極方程式 $r = f(\theta)$ で与えられた曲線の長さを求める公式 $L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2} \, d\theta$ に代入して定積分を計算します。根号の中身を三角関数の半角の公式を用いて平方式に変形し、絶対値を外して積分を完了させます。

解法1

与えられた極方程式は $r = 1 + \cos\theta \ (0 \leqq \theta \leqq \pi)$ である。$r$ を $\theta$ で微分すると、

$$ \frac{dr}{d\theta} = -\sin\theta $$

となる。

曲線の長さを求める公式の根号の中身を計算する。

$$ r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2 = (1 + \cos\theta)^2 + (-\sin\theta)^2 = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta = 2 + 2\cos\theta = 2(1 + \cos\theta) $$

ここで、半角の公式 $\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1+\cos\theta}{2}$ より $1+\cos\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2}$ であるから、

$$ 2(1 + \cos\theta) = 4\cos^2\frac{\theta}{2} $$

となる。

したがって、求める曲線の長さ $L$ は

$$ L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{4\cos^2\frac{\theta}{2}} \, d\theta = \int_{0}^{\pi} 2\left|\cos\frac{\theta}{2}\right| d\theta $$

積分区間 $0 \leqq \theta \leqq \pi$ において $0 \leqq \frac{\theta}{2} \leqq \frac{\pi}{2}$ であるから、$\cos\frac{\theta}{2} \geqq 0$ となり絶対値記号はそのまま外せる。

$$ L = \int_{0}^{\pi} 2\cos\frac{\theta}{2} \, d\theta = \left[ 4\sin\frac{\theta}{2} \right]_{0}^{\pi} = 4\sin\frac{\pi}{2} - 4\sin 0 = 4 $$

解説

極方程式における曲線の長さの公式 $L = \int \sqrt{r^2 + (r')^2} \, d\theta$ を正確に覚えているかを問う基本的な計算問題です。この公式を適用すると、根号の中に $1+\cos\theta$ や $1-\cos\theta$ のような形が現れることが多く、これらは半角の公式を用いて $\cos$ や $\sin$ の2乗の形に変形することで根号を外すのが定石の式変形です。根号を外す際に出現する絶対値記号は、積分区間から符号を判定して正しく処理しましょう。ちなみに、この曲線は「カージオイド（心臓形）」の上半分を表しています。

答え

$$ 4 $$