東北大学 2002年 理系 第1問 解説

方針・初手

係数がすべて実数であり、$1+i$ が解であるから、その共役複素数 $1-i$ も解である。したがって、方程式の左辺は

$$ x^2-2x+2 $$

を因数にもつ。

そこで、元の4次式を

$$ (x^2-2x+2)(x^2+px+q) $$

とおいて係数を比較すれば、$a,b$ と残りの解がまとめて求まる。

解法1

与えられた方程式を

$$ P(x)=x^4+(a+2)x^3-(2a+2)x^2+(b+1)x+a^3 $$

とおく。

$1+i$ が解であり、しかも $a,b$ は実数なので、共役な複素数 $1-i$ も解である。よって

$$ (x-(1+i))(x-(1-i))=(x-1-i)(x-1+i)=(x-1)^2+1=x^2-2x+2 $$

より、

$$ P(x)=(x^2-2x+2)(x^2+px+q) $$

と表せる。

これを展開すると、

$$ \begin{aligned} (x^2-2x+2)(x^2+px+q) &=x^4+(p-2)x^3+(q-2p+2)x^2+(-2q+2p)x+2q \end{aligned} $$

となる。これを

$$ x^4+(a+2)x^3-(2a+2)x^2+(b+1)x+a^3 $$

と係数比較する。

まず $x^3$ の係数から

$$ p-2=a+2 $$

すなわち

$$ p=a+4 $$

である。

次に $x^2$ の係数から

$$ q-2p+2=-(2a+2) $$

であり、$p=a+4$ を代入すると

$$ q-2(a+4)+2=-2a-2 $$

すなわち

$$ q-2a-8+2=-2a-2 $$

より

$$ q=4 $$

を得る。

さらに定数項の比較より

$$ 2q=a^3 $$

であるから、

$$ 2\cdot 4=a^3 $$

すなわち

$$ a^3=8 $$

となる。$a$ は実数なので

$$ a=2 $$

である。

すると

$$ p=a+4=6 $$

となる。

最後に $x$ の係数を比較すると

$$ -2q+2p=b+1 $$

であるから、

$$ -2\cdot 4+2\cdot 6=b+1 $$

より

$$ 4=b+1 $$

したがって

$$ b=3 $$

である。

以上より、このときの方程式は

$$ (x^2-2x+2)(x^2+6x+4)=0 $$

と因数分解できる。

前半から

$$ x=1\pm i $$

を得る。後半の2次方程式

$$ x^2+6x+4=0 $$

を解くと、

$$ x=\frac{-6\pm\sqrt{36-16}}{2}=\frac{-6\pm\sqrt{20}}{2}=-3\pm\sqrt{5} $$

である。

したがって、$1+i$ 以外の解は

$$ 1-i,\ -3+\sqrt{5},\ -3-\sqrt{5} $$

である。

解説

この問題の要点は、実係数多項式に複素数解が1つあれば、その共役複素数も必ず解になることである。したがって、$1+i$ を見た時点で $x^2-2x+2$ を因数にもつと判断するのが自然である。

その後は4次式を2次式どうしの積にして係数比較を行えば、$a,b$ だけでなく他の解まで一気に決まる。複素数解が与えられた実係数方程式では典型的な処理である。

答え

$$ a=2,\quad b=3 $$

また、このときの方程式の他の解は

$$ 1-i,\ -3+\sqrt{5},\ -3-\sqrt{5} $$

である。