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京都大学 2009年理系第2問（甲）解説

方針・初手

「$\triangle OA_n A_{n+1}$ と $\triangle OA_{n+1} A_{n+2}$ が辺 $OA_{n+1}$ に関して対称」という条件から、各辺の長さと角度がどのように移り変わるかを把握します。$\angle A_1OA_2 = \theta$ とおき、2つの三角形 $\triangle OA_1A_2$ と $\triangle OA_2A_5$ の面積を $\theta$ と辺の長さを用いて表し、その比が正の整数になるという条件を方程式に帰着させます。

解法1

$\angle A_1OA_2 = \theta \ (0 < \theta < \pi)$ とおく。条件より、$n=1,2,3$ について $\triangle OA_n A_{n+1}$ と $\triangle OA_{n+1}A_{n+2}$ は辺 $OA_{n+1}$ に関して対称である。したがって、対応する辺の長さと角の大きさは等しく、次が成り立つ。

$n=1$ のとき：$OA_1 = OA_3$, $\angle A_1OA_2 = \angle A_3OA_2 = \theta$
$n=2$ のとき：$OA_2 = OA_4$, $\angle A_2OA_3 = \angle A_4OA_3 = \theta$
$n=3$ のとき：$OA_3 = OA_5$, $\angle A_3OA_4 = \angle A_5OA_4 = \theta$

これらより、$OA_1 = OA_3 = OA_5$、$OA_2 = OA_4$ である。$OA_1 = a$, $OA_2 = b$ とおくと、$OA_5 = a$ である。

また、対称移動を繰り返すことから、半直線 $OA_1, OA_2, OA_3, OA_4, OA_5$ はこの順に角度 $\theta$ ずつ同じ回転方向に並ぶ位置関係にある。ゆえに、$\triangle OA_2A_5$ について、2辺 $OA_2, OA_5$ のなす角は $3\theta$ に対応し、その面積計算に用いる正弦は $|\sin 3\theta|$ となる。

$\triangle OA_1A_2$ の面積 $S_1$ と $\triangle OA_2A_5$ の面積 $S_2$ はそれぞれ

$$ S_1 = \frac{1}{2}ab\sin\theta, \quad S_2 = \frac{1}{2} \cdot OA_2 \cdot OA_5 |\sin 3\theta| = \frac{1}{2}ab|\sin 3\theta| $$

と表される。

$S_2$ が $S_1$ の正の整数倍となるとき、$S_2 = kS_1$（$k$ は正の整数）とおける。$\triangle OA_1A_2$ が存在することから $S_1 > 0$ であり、$S_2 > 0$ より $\sin 3\theta \neq 0$ である。

$$ \frac{1}{2}ab|\sin 3\theta| = k \cdot \frac{1}{2}ab\sin\theta $$

$$ |\sin 3\theta| = k \sin\theta $$

ここで、3倍角の公式 $\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ を用いると、

$$ |\sin 3\theta| = |3\sin\theta - 4\sin^3\theta| = \sin\theta |3 - 4\sin^2\theta| $$

（$0 < \theta < \pi$ より $\sin\theta > 0$ であるため、$\sin\theta$ は絶対値の外に出せる）

よって、方程式は

$$ \sin\theta |3 - 4\sin^2\theta| = k \sin\theta $$

$\sin\theta > 0$ より両辺を $\sin\theta$ で割って、

$$ |3 - 4\sin^2\theta| = k $$

$0 < \theta < \pi$ より $0 < \sin^2\theta \leqq 1$ であるから、絶対値の中身の取りうる範囲は

$$ -1 \leqq 3 - 4\sin^2\theta < 3 $$

この範囲で絶対値 $|3 - 4\sin^2\theta|$ が正の整数 $k$ となるのは、$k=1, 2$ の場合のみである。

(i) $k=1$ のとき

$3 - 4\sin^2\theta = 1$ または $3 - 4\sin^2\theta = -1$

$3 - 4\sin^2\theta = 1$ のとき、$4\sin^2\theta = 2$ より $\sin^2\theta = \frac{1}{2}$。$\sin\theta > 0$ より $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となり、$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$
$3 - 4\sin^2\theta = -1$ のとき、$4\sin^2\theta = 4$ より $\sin^2\theta = 1$。$\sin\theta > 0$ より $\sin\theta = 1$ となり、$\theta = \frac{\pi}{2}$

(ii) $k=2$ のとき

$3 - 4\sin^2\theta = 2$ または $3 - 4\sin^2\theta = -2$

$3 - 4\sin^2\theta = 2$ のとき、$4\sin^2\theta = 1$ より $\sin^2\theta = \frac{1}{4}$。$\sin\theta > 0$ より $\sin\theta = \frac{1}{2}$ となり、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$
$3 - 4\sin^2\theta = -2$ のとき、$4\sin^2\theta = 5$ となり、$\sin^2\theta \leqq 1$ に反するため不適。

以上より、すべての解が求まる。

解説

平面図形における対称移動を「辺の長さの保存」と「角度の推移」に正しく言い換えられるかが問われています。また、角度 $3\theta$ が $\pi$ を超える場合や $\sin 3\theta < 0$ となる場合があるため、三角形の面積を立式する際に絶対値 $|\sin 3\theta|$ を用いることが最大のポイントです。絶対値を忘れると $\theta = \frac{\pi}{2}$ の解を失うことになります。