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京都大学 2009年理系第2問（乙）解説

方針・初手

「$A, B, C, A', B', C'$ が同一円周上にある」ということは、この円は $\triangle ABC$ の外接円に他ならないという事実に着目します。証明は「$P$ が内心ならば6点は同一円周上にある（十分性）」と「6点が同一円周上にあるならば $P$ は内心である（必要性）」の2つに分けて行います。十分性は内心の有名な性質（内角の二等分線と外接円の交点が特定の外心になる）を用い、必要性は円の交点を考えて $P$ の位置を特定します。

解法1

$A, B, C$ を通る円は $\triangle ABC$ の外接円であり、これを $\Gamma$ とする。

(I) $P$ が $\triangle ABC$ の内心 $I$ に一致するとき（十分性の証明）

直線 $AI$ と外接円 $\Gamma$ の交点のうち、$A$ でない方を $M_1$ とおく。円周角の定理より、$\angle M_1BC = \angle M_1AC = \frac{A}{2}$ である。$\triangle M_1BI$ について、内角と外角の関係から

$$ \angle M_1IB = \angle IAB + \angle IBA = \frac{A}{2} + \frac{B}{2} $$

$$ \angle M_1BI = \angle M_1BC + \angle IBC = \frac{A}{2} + \frac{B}{2} $$

したがって $\angle M_1IB = \angle M_1BI$ となり、$\triangle M_1BI$ は二等辺三角形である。よって $M_1B = M_1I$ が成り立つ。同様にして $\triangle M_1CI$ も二等辺三角形となり $M_1C = M_1I$ が成り立つため、$M_1$ は $\triangle BCI$ の外心に一致する。$P=I$ のとき、条件より $\triangle BCI$ の外心は $A'$ であるため、$A' = M_1$ となる。$M_1$ は $\Gamma$ 上の点であるから、$A'$ は $\Gamma$ 上にある。対称性から、$\triangle CAI$ の外心 $B'$、$\triangle ABI$ の外心 $C'$ も $\Gamma$ 上にある。よって、$A, B, C, A', B', C'$ は同一円周上にある。

(II) $A, B, C, A', B', C'$ が同一円周上にあるとき（必要性の証明）

この6点を通る円は $\triangle ABC$ の外接円 $\Gamma$ である。$A'$ は $\triangle BCP$ の外心であるから、$A'B = A'C$ である。よって $A'$ は辺 $BC$ の垂直二等分線上にあり、かつ $\Gamma$ 上にあるため、$\Gamma$ 上の弧 $BC$ の中点である。$\Gamma$ 上の弧 $BC$ の中点には、$A$ を含まない側の劣弧の中点 $M_1$ と、$A$ を含む側の優弧の中点 $M_2$ がある。

$P$ は $\triangle ABC$ の内部にあるため、直線 $BC$ に関して $A$ と同じ側にある。もし $A' = M_2$ であったとする。$\triangle A'BC$ は $\Gamma$ に内接し、四角形 $A'BAC$ を考えると $\angle BA'C = A$ である。$A'$ は $\triangle BCP$ の外心なので、$P$ は $A'$ を中心とし $B, C$ を通る円上にある。$P$ がこの円周上で直線 $BC$ に関して $A'$ と同じ側にあるとき、円周角と中心角の関係から $\angle BPC = \frac{1}{2}\angle BA'C = \frac{A}{2}$ となる。しかし、$P$ は $\triangle ABC$ の内部の点であるから $\angle BPC > A$ が成り立つはずであり、$\frac{A}{2} < A$ に矛盾する。一方、$P$ が $BC$ に関して $A'$ と反対側にあるとき、$\angle BPC = 180^\circ - \frac{A}{2}$ となる。しかし $A' = M_2$ は $A$ と同じ側にあるため、その反対側は $\triangle ABC$ の外部となり、これも矛盾する。したがって $A' \neq M_2$ であり、$A'$ は劣弧 $BC$ の中点 $M_1$ である。

同様に、$B'$ は劣弧 $CA$ の中点、$C'$ は劣弧 $AB$ の中点であることがわかる。(I) の議論より、劣弧 $BC$ の中点 $M_1$（$=A'$）を中心とし $B, C$ を通る円 $\omega_A$ は、$\triangle ABC$ の内心 $I$ を通る。同様に、劣弧 $CA$ の中点（$=B'$）を中心とし $C, A$ を通る円 $\omega_B$ も内心 $I$ を通る。点 $P$ は $\triangle BCP$ の外心 $A'$ からの距離が $A'B$、$\triangle CAP$ の外心 $B'$ からの距離が $B'C$ であるため、円 $\omega_A$ と円 $\omega_B$ の交点である。$\omega_A$ と $\omega_B$ は点 $C$ と点 $I$ の2点で交わる。$P$ は $\triangle ABC$ の内部の点であり、辺上の頂点 $C$ には一致しない。したがって、$P = I$ である。

以上 (I), (II) より、題意は示された。

解説

内心 $I$ に関する有名な性質（The Incenter-Excenter Lemma / トリルムの定理）を背景とした証明問題です。「$\triangle BCI$ の外心は、$\angle A$ の二等分線と外接円の交点に一致する」という事実は、難関大の図形問題では証明なしで使われることもありますが、本問のように自ら証明を記述できるようにしておくことが強く推奨されます。必要性の証明では、中心角と円周角の関係から $P$ が内部にある条件を吟味し、$A'$ が優弧ではなく劣弧の中点に絞られることを論証するのがポイントです。