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京都大学 2010年理系第4問（乙）解説

方針・初手

三角形の3辺と外接円の半径が与えられているため、まずは「正弦定理」を用いて各角の正弦（$\sin$）の値を求めます。三角形が鋭角三角形であるという条件から、各角の余弦（$\cos$）の値も正に定まることに着目し、加法定理や余弦定理を用いて辺 $b$ と $a$ の関係式を導きます。

解法1

三角形の辺の長さ $\sqrt{3}, a, b$ に対する対角の大きさをそれぞれ $A, B, C$ とする。外接円の半径が $1$ であるから、正弦定理より

$$ \frac{\sqrt{3}}{\sin A} = \frac{a}{\sin B} = \frac{b}{\sin C} = 2 \times 1 = 2 $$

これより、

$$ \sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin B = \frac{a}{2}, \quad \sin C = \frac{b}{2} $$

三角形は鋭角三角形であるため、$0 < A, B, C < \dfrac{\pi}{2}$ である。 $\sin A = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ より、$A = \dfrac{\pi}{3}$ である。

また、角 $B$ は鋭角であるから $\cos B > 0$ であり、

$$ \cos B = \sqrt{1 - \sin^2 B} = \sqrt{1 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{4 - a^2}}{2} $$

ここで、条件 $1 < a < 2$ より $0 < 4 - a^2 < 3$ であるから、根号の中は正であり $\cos B$ は実数値として存在する。

三角形の内角の和は $\pi$ であるから、$C = \pi - (A + B)$ である。よって、$\sin C$ は加法定理を用いて次のように展開できる。

$$ \sin C = \sin(\pi - (A + B)) = \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $$

$A = \dfrac{\pi}{3}$ より $\sin A = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos A = \dfrac{1}{2}$ であるから、求めた $\sin B, \cos B$ の値を代入する。

$$ \sin C = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{4 - a^2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{3(4 - a^2)} + a}{4} $$

一方で、正弦定理より $\sin C = \dfrac{b}{2}$ であるから、

$$ \frac{b}{2} = \frac{\sqrt{12 - 3a^2} + a}{4} $$

$$ b = \frac{a + \sqrt{12 - 3a^2}}{2} $$

このとき、$\sin B = \dfrac{a}{2}$ および条件 $1 < a < 2$ から $\dfrac{1}{2} < \sin B < 1$ となり、$\dfrac{\pi}{6} < B < \dfrac{\pi}{2}$ を満たす。 $C = \pi - \left(\dfrac{\pi}{3} + B\right) = \dfrac{2\pi}{3} - B$ であり、$\dfrac{\pi}{6} < B < \dfrac{\pi}{2}$ より $\dfrac{\pi}{6} < C < \dfrac{\pi}{2}$ となるため、角 $C$ も確実に鋭角となる。

解法2

三角形の辺の長さ $\sqrt{3}, a, b$ に対する対角の大きさをそれぞれ $A, B, C$ とする。外接円の半径が $1$ であるから、正弦定理より $\sin A = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ である。三角形は鋭角三角形であるため $A = \dfrac{\pi}{3}$（$60^\circ$）と定まる。

角 $A$ に着目して余弦定理を用いると、

$$ (\sqrt{3})^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos 60^\circ $$

$$ 3 = a^2 + b^2 - ab $$

これを $b$ についての2次方程式として整理する。

$$ b^2 - ab + a^2 - 3 = 0 $$

解の公式より、

$$ b = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 4(a^2 - 3)}}{2} = \frac{a \pm \sqrt{12 - 3a^2}}{2} $$

ここで、三角形が鋭角三角形である条件から適する符号を判断する。角 $B$ についての余弦定理より、$\cos B > 0$ が必要である。

$$ \cos B = \frac{(\sqrt{3})^2 + b^2 - a^2}{2\sqrt{3}b} = \frac{3 + b^2 - a^2}{2\sqrt{3}b} > 0 $$

分母は正であるから、$b^2 - a^2 + 3 > 0$ となる。余弦定理の式 $b^2 - ab + a^2 - 3 = 0$ より $3 - a^2 = b^2 - ab$ であるから、これを代入すると

$$ b^2 + (b^2 - ab) > 0 \implies 2b^2 - ab > 0 $$

$b > 0$ より両辺を $b$ で割って $2b > a$、すなわち $b > \dfrac{a}{2}$ を得る。

もし $b = \dfrac{a - \sqrt{12 - 3a^2}}{2}$ であると仮定すると、$\sqrt{12 - 3a^2} > 0$ より

$$ b = \frac{a}{2} - \frac{\sqrt{12 - 3a^2}}{2} < \frac{a}{2} $$

となり、$b > \dfrac{a}{2}$ を満たさないため不適。よって

$$ b = \frac{a + \sqrt{12 - 3a^2}}{2} $$

（確認） 角 $C$ が鋭角である条件は同様に $\cos C > 0$ から $a > \dfrac{b}{2}$ となるが、 $1 < a < 2$ より $3a > \sqrt{12 - 3a^2}$（両辺正であり、2乗すると $9a^2 > 12 - 3a^2 \iff a^2 > 1$ となり真）であるから、

$$ \frac{b}{2} = \frac{a + \sqrt{12 - 3a^2}}{4} < \frac{a + 3a}{4} = a $$

となり、$a > \dfrac{b}{2}$ も満たされる。したがって、すべての角が鋭角となる。