東北大学 1968年 理系 第5問 解説

方針・初手

半円周上の $n$ 等分点の座標 $(x_i, y_i)$ を、偏角を表す媒介変数 $\theta_i = \frac{\pi}{n}i$ を用いて表す。 折れ線の1辺の長さ $l_n$ を $n$ の式で表したうえで、求める極限の式を $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum f\left(\frac{i}{n}\right)$ の形に持ち込み、区分求積法を適用する。このとき、$l_n$ の式から $\frac{1}{n}$ に相当する部分を適切に分離することがポイントとなる。

解法1

原点を $O$ とし、$x$ 軸の正の向きからの偏角を $\theta$ とする。半円周上の $n$ 等分点の偏角は $\theta_i = \frac{\pi}{n}i \ (i = 0, 1, \dots, n)$ となるため、各分点の座標は次のように表せる。

$$ x_i = a \cos \frac{i\pi}{n}, \quad y_i = a \sin \frac{i\pi}{n} $$

折れ線の1辺の長さ $l_n$ は、半径 $a$、中心角 $\frac{\pi}{n}$ の扇形における弦の長さであるから、

$$ l_n = 2a \sin \frac{\pi}{2n} $$

となる。

ここで、求める極限の式を区分求積法の形に変形する。対象となる式を $L_n$ とおき、$x_i, y_i$ を代入すると、

$$ L_n = 2a \sin \frac{\pi}{2n} \sum_{i=0}^n \left( a^2 \sin^2 \frac{i\pi}{n} + 2a^3 \cos^2 \frac{i\pi}{n} \sin \frac{i\pi}{n} \right) $$

区分求積法を用いるため、無理やり $\frac{\pi}{n}$ を作り出すように次のように変形する。

$$ L_n = \frac{n}{\pi} \left( 2a \sin \frac{\pi}{2n} \right) \cdot \frac{\pi}{n} \sum_{i=0}^n \left( a^2 \sin^2 \frac{i\pi}{n} + 2a^3 \cos^2 \frac{i\pi}{n} \sin \frac{i\pi}{n} \right) $$

$$ L_n = a \frac{\sin \frac{\pi}{2n}}{\frac{\pi}{2n}} \cdot \frac{\pi}{n} \sum_{i=0}^n \left( a^2 \sin^2 \frac{i\pi}{n} + 2a^3 \cos^2 \frac{i\pi}{n} \sin \frac{i\pi}{n} \right) $$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{\pi}{2n} \to 0$ であるから、極限の公式より、

$$ \lim_{n \to \infty} a \frac{\sin \frac{\pi}{2n}}{\frac{\pi}{2n}} = a \cdot 1 = a $$

である。

また、関数 $f(\theta) = a^2 \sin^2 \theta + 2a^3 \cos^2 \theta \sin \theta$ とおくと、$f(\theta)$ は閉区間 $[0, \pi]$ で連続であるため、区分求積法により以下が成り立つ。

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n} \sum_{i=1}^n f\left( \frac{i\pi}{n} \right) = \int_0^\pi f(\theta) d\theta $$

$i=0$ の項については $\lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n} f(0) = \lim_{n \to \infty} 0 = 0$ であるから、和の範囲を $i=0$ からとしても極限値は変わらず、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n} \sum_{i=0}^n f\left( \frac{i\pi}{n} \right) = \int_0^\pi (a^2 \sin^2 \theta + 2a^3 \cos^2 \theta \sin \theta) d\theta $$

となる。この定積分を計算する。

$$ \int_0^\pi \sin^2 \theta d\theta = \int_0^\pi \frac{1 - \cos 2\theta}{2} d\theta = \left[ \frac{\theta}{2} - \frac{\sin 2\theta}{4} \right]_0^\pi = \frac{\pi}{2} $$

$$ \int_0^\pi \cos^2 \theta \sin \theta d\theta = \left[ -\frac{1}{3} \cos^3 \theta \right]_0^\pi = -\frac{1}{3} (-1 - 1) = \frac{2}{3} $$

したがって、積分の値は、

$$ \int_0^\pi (a^2 \sin^2 \theta + 2a^3 \cos^2 \theta \sin \theta) d\theta = a^2 \cdot \frac{\pi}{2} + 2a^3 \cdot \frac{2}{3} = \frac{\pi}{2}a^2 + \frac{4}{3}a^3 $$

以上より、求める極限値は両者の極限の積として求められる。

$$ \lim_{n \to \infty} L_n = a \left( \frac{\pi}{2}a^2 + \frac{4}{3}a^3 \right) = \frac{\pi}{2}a^3 + \frac{4}{3}a^4 $$

解説

円周上の点列に関する和の極限を求める問題である。$n$ 等分点の座標は偏角を用いて三角関数で表すのが定石である。 本問の最大のポイントは $l_n$ の扱い方にある。$l_n$ には $n$ が含まれているため、$\frac{1}{n}$ を人工的に作り出して区分求積法の形 $\frac{1}{n} \sum f\left(\frac{i}{n}\right)$ に帰着させ、残った部分が定数に収束することを確認する必要がある。 図形的に見れば、$n \to \infty$ のとき折れ線の1辺の長さ $l_n$ は微小な弧の長さ $a \Delta \theta = a \frac{\pi}{n}$ に漸近するため、$l_n \approx a \frac{\pi}{n}$ となることは直感的に予想できる。解答では、この直感を $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ を用いて厳密に処理している。

答え

$$ \frac{\pi}{2}a^3 + \frac{4}{3}a^4 $$