トップ› 九州大学› 1968年› 文系第3問

九州大学 1968年文系第3問解説

方針・初手

定積分の形で与えられた関数 $F(x)$ の極値を求める問題である。定積分で表された関数の微分の公式 $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t) dt = f(x)$ （$a$ は定数）を用いて導関数 $F'(x)$ を求め、増減表を作成して極値を特定する。

解法1

与えられた関数は、

$$F(x) = \int_0^x t(t-1)(t+1) dt$$

である。両辺を $x$ で微分すると、微積分学の基本定理より、

$$F'(x) = x(x-1)(x+1) = x(x^2 - 1)$$

となる。$F'(x) = 0$ となる $x$ の値は、

$$x = -1, 0, 1$$

である。極値を求めるために、先に $F(x)$ の定積分を計算しておく。

$$F(x) = \int_0^x (t^3 - t) dt$$

$$F(x) = \left[ \frac{1}{4}t^4 - \frac{1}{2}t^2 \right]_0^x = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2$$

これをもとに、$F(x)$ の増減表を作成すると以下のようになる。

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$F'(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$F(x)$	$\searrow$	$-\frac{1}{4}$	$\nearrow$	$0$	$\searrow$	$-\frac{1}{4}$	$\nearrow$

増減表における極値の計算は以下の通りである。

$x = 0$ のとき、極大値をとる。

$$F(0) = \frac{1}{4} \cdot 0^4 - \frac{1}{2} \cdot 0^2 = 0$$

$x = -1, 1$ のとき、極小値をとる。$F(x)$ は $x$ の偶数乗のみからなるため偶関数（$F(-x) = F(x)$）であり、$F(-1) = F(1)$ となる。

$$F(1) = \frac{1}{4} \cdot 1^4 - \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$$

したがって、$F(-1) = -\frac{1}{4}$ である。

増減表より、$F(x)$ は $x = 0$ で極大値 $0$、$x = -1, 1$ で極小値 $-\frac{1}{4}$ をとることがわかる。

解説

定積分で表された関数の微分の基本公式を用いる標準的な問題である。

最初に $F(x)$ の積分計算を実行して $F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2$ を導き、それを微分してただの4次関数の極値問題として処理しても解答可能であり、どちらの手順でも計算量に大きな差はない。本解答では、極値を求める際の代入計算を容易にするため、導関数 $F'(x)$ を求めたあとに $F(x)$ の多項式表示も求めている。

また、$F(x)$ が偶関数であることに気づけば、$F(1)$ と $F(-1)$ の計算を一本化できるため、計算ミスを減らすことができる。