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九州大学 1968年文系第2問解説

方針・初手

(1) は楕円の接線の公式をそのまま用いる。

(2) は (1) で求めた接線の方程式から $x$ 軸および $y$ 軸との交点を求め、三角形の面積を $x_0, y_0$ を用いて表す。点 $P(x_0, y_0)$ が楕円上の点であるという条件式を利用して、面積の式の最小値を求める。その際、相加平均と相乗平均の大小関係を利用するか、楕円の媒介変数表示を利用して1変数関数に帰着させる手法が有効である。

解法1

(1)

点 $P(x_0, y_0)$ における楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ の接線の方程式は、

$$\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1$$

である。

(2)

(1) で求めた接線と $x$ 軸、 $y$ 軸との交点をそれぞれ $A, B$ とおく。

$y=0$ とすると、 $x_0 > 0$ より $x = \frac{a^2}{x_0}$ となるので、点 $A$ の座標は $\left(\frac{a^2}{x_0}, 0\right)$ である。

$x=0$ とすると、 $y_0 > 0$ より $y = \frac{b^2}{y_0}$ となるので、点 $B$ の座標は $\left(0, \frac{b^2}{y_0}\right)$ である。

接線と $x$ 軸、 $y$ 軸とで囲まれる三角形は直角三角形 $OAB$ （ $O$ は原点）であり、 $x_0 > 0, y_0 > 0$ より交点の座標は正であるから、その面積を $S$ とすると、

$$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{x_0} \cdot \frac{b^2}{y_0} = \frac{a^2 b^2}{2 x_0 y_0}$$

となる。

点 $P(x_0, y_0)$ は楕円上の点であり、 $x_0 > 0, y_0 > 0$ であるから、

$$\frac{x_0^2}{a^2} > 0, \quad \frac{y_0^2}{b^2} > 0, \quad \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1$$

が成り立つ。ここで、相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$1 = \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} \geqq 2\sqrt{\frac{x_0^2}{a^2} \cdot \frac{y_0^2}{b^2}} = \frac{2 x_0 y_0}{a b}$$

が成り立つ。よって、

$$x_0 y_0 \leqq \frac{ab}{2}$$

である。等号が成立するのは $\frac{x_0^2}{a^2} = \frac{y_0^2}{b^2}$ のときであり、 $\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1$ および $x_0 > 0, y_0 > 0$ より、 $x_0 = \frac{a}{\sqrt{2}}, y_0 = \frac{b}{\sqrt{2}}$ のときに等号が成立する。

$S = \frac{a^2 b^2}{2 x_0 y_0}$ であり、 $x_0 y_0$ が最大値 $\frac{ab}{2}$ をとるとき $S$ は最小となるから、求める最小値は、

$$S \geqq \frac{a^2 b^2}{2 \cdot \frac{ab}{2}} = ab$$

したがって、最小値は $ab$ である。

解法2

(2)の別解

点 $P(x_0, y_0)$ は楕円上の点であり、 $x_0 > 0, y_0 > 0$ であるから、媒介変数 $\theta$ を用いて、

$$x_0 = a \cos \theta, \quad y_0 = b \sin \theta \quad \left(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\right)$$

と表すことができる。

これらを解法1で求めた面積 $S$ の式に代入すると、

$$S = \frac{a^2 b^2}{2 (a \cos \theta) (b \sin \theta)} = \frac{ab}{2 \sin \theta \cos \theta}$$

となる。2倍角の公式より、 $2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ であるから、

$$S = \frac{ab}{\sin 2\theta}$$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $0 < 2\theta < \pi$ であるから、 $0 < \sin 2\theta \leqq 1$ である。

したがって、 $S$ は $\sin 2\theta = 1$ のときに最小となり、そのときの値は $ab$ である。

$\sin 2\theta = 1$ を満たす $\theta$ は $2\theta = \frac{\pi}{2}$ より $\theta = \frac{\pi}{4}$ であり、これは $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ を満たす。このとき、 $x_0 = \frac{a}{\sqrt{2}}, y_0 = \frac{b}{\sqrt{2}}$ である。

以上より、最小値は $ab$ である。