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九州大学 1967年文系第5問解説

方針・初手

問題で求められている面積 $S(t)$ は、2つの線分 $OP, PA$ と曲線 $y=x^3$ で囲まれた部分である。曲線が下に凸であることから、折線 $OPA$ は常に曲線の上側に位置する。面積を求める方法として、各線分の式を立てて上下関係から定積分を計算する正攻法のほかに、折線が $x$ 軸との間に作る図形（三角形や台形）の面積から、曲線と $x$ 軸が囲む面積を引くことで計算を簡略化する図形的な工夫が有効である。

解法1

(1)

区間 $x \ge 0$ において $y = x^3$ の第2次導関数は $y'' = 6x \ge 0$ であり、曲線は下に凸である。したがって、定点 $O(0, 0), A(1, 1)$ と動点 $P(t, t^3)$ $(0 < t < 1)$ を結ぶ折線 $OPA$ は、常に曲線 $y = x^3$ の上側にある。

求める面積 $S(t)$ は、折線 $OPA$ と $x$ 軸、および直線 $x=1$ で囲まれた図形の面積から、曲線 $y=x^3$ と $x$ 軸、および直線 $x=1$ で囲まれた図形の面積を引いたものに等しい。

折線 $OPA$ と $x$ 軸が作る図形は、$x=t$ で分割すると、底辺 $t$、高さ $t^3$ の直角三角形と、上底 $t^3$、下底 $1$、高さ $1-t$ の直角台形になる。この面積の和は、

$$\frac{1}{2} \cdot t \cdot t^3 + \frac{1}{2}(t^3 + 1)(1 - t)$$

また、曲線 $y=x^3$ と $x$ 軸、および $x=1$ で囲まれた図形の面積は、

$$\int_0^1 x^3 \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{4}$$

したがって、求める面積 $S(t)$ は、

$$\begin{aligned} S(t) &= \frac{1}{2} t^4 + \frac{1}{2}(t^3 + 1)(1 - t) - \frac{1}{4} \\ &= \frac{1}{2} t^4 + \frac{1}{2}(t^3 - t^4 + 1 - t) - \frac{1}{4} \\ &= \frac{1}{2} t^3 - \frac{1}{2} t + \frac{1}{4} \end{aligned}$$

(2)

(1) の結果より、$S(t) = \frac{1}{2} t^3 - \frac{1}{2} t + \frac{1}{4}$ である。$t$ について微分すると、

$$S'(t) = \frac{3}{2} t^2 - \frac{1}{2}$$

$S'(t) = 0$ とすると $t^2 = \frac{1}{3}$ となり、$0 < t < 1$ を満たすのは $t = \frac{1}{\sqrt{3}}$ のみである。

増減表は以下のようになる。

$t$	$0$	$\cdots$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$\cdots$	$1$
$S'(t)$		$-$	$0$	$+$
$S(t)$		$\searrow$	極小	$\nearrow$

増減表より、$S(t)$ は $t = \frac{1}{\sqrt{3}}$ で最小値をとる。その最小値は、

$$\begin{aligned} S\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) &= \frac{1}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3 - \frac{1}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \frac{1}{4} \\ &= \frac{1}{6\sqrt{3}} - \frac{3}{6\sqrt{3}} + \frac{1}{4} \\ &= -\frac{2}{6\sqrt{3}} + \frac{1}{4} \\ &= \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{9} \end{aligned}$$

解法2

(1)

線分 $OP$、線分 $PA$ の方程式をそれぞれ求め、曲線との上下関係から定積分を計算して面積 $S(t)$ を求める。

線分 $OP$ は、原点 $O(0, 0)$ と $P(t, t^3)$ を結ぶので、その方程式は、

$$y = t^2 x \quad (0 \le x \le t)$$

線分 $PA$ は、点 $P(t, t^3)$ と点 $A(1, 1)$ を結ぶので、その傾きは、

$$\frac{1 - t^3}{1 - t} = \frac{(1 - t)(1 + t + t^2)}{1 - t} = 1 + t + t^2$$

よって、線分 $PA$ の方程式は、

$$y - 1 = (1 + t + t^2)(x - 1)$$

$$y = (1 + t + t^2)x - (t + t^2) \quad (t \le x \le 1)$$

折線 $OPA$ は曲線 $y = x^3$ の上側にあるため、求める面積 $S(t)$ は以下の定積分で計算できる。

$$S(t) = \int_0^t (t^2 x - x^3) \, dx + \int_t^1 \left\{ (1 + t + t^2)x - (t + t^2) - x^3 \right\} \, dx$$

第1項の積分を計算する。

$$\int_0^t (t^2 x - x^3) \, dx = \left[ \frac{1}{2} t^2 x^2 - \frac{1}{4} x^4 \right]_0^t = \frac{1}{2} t^4 - \frac{1}{4} t^4 = \frac{1}{4} t^4$$

第2項の積分を計算する。

$$\begin{aligned} &\int_t^1 \left\{ (1 + t + t^2)x - (t + t^2) - x^3 \right\} \, dx \\ &= \left[ \frac{1}{2}(1 + t + t^2)x^2 - (t + t^2)x - \frac{1}{4}x^4 \right]_t^1 \\ &= \left( \frac{1}{2}(1 + t + t^2) - (t + t^2) - \frac{1}{4} \right) - \left( \frac{1}{2}(1 + t + t^2)t^2 - (t + t^2)t - \frac{1}{4}t^4 \right) \\ &= \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} t - \frac{1}{2} t^2 \right) - \left( \frac{1}{2} t^2 + \frac{1}{2} t^3 + \frac{1}{2} t^4 - t^2 - t^3 - \frac{1}{4} t^4 \right) \\ &= \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} t - \frac{1}{2} t^2 \right) - \left( -\frac{1}{2} t^2 - \frac{1}{2} t^3 + \frac{1}{4} t^4 \right) \\ &= -\frac{1}{4} t^4 + \frac{1}{2} t^3 - \frac{1}{2} t + \frac{1}{4} \end{aligned}$$

2つの積分結果を足し合わせる。

$$\begin{aligned} S(t) &= \frac{1}{4} t^4 + \left( -\frac{1}{4} t^4 + \frac{1}{2} t^3 - \frac{1}{2} t + \frac{1}{4} \right) \\ &= \frac{1}{2} t^3 - \frac{1}{2} t + \frac{1}{4} \end{aligned}$$

(2) は解法1と同様に微分して増減を調べることで求められる。

解説

2つの線分と曲線で囲まれた面積の立式と、3次関数の最小値を求める微分法の標準的な問題である。

(1) では、直線の方程式を立ててから積分する「解法2」がもっとも愚直で確実な方法であるが、文字を含んだ多項式の積分計算がやや煩雑になり、計算ミスのリスクが高まる。それに対して、「解法1」のように「折線が作る図形の面積（三角形と台形）の和」から「曲線の下側の面積（定積分）」を引くという図形的な見方をすると、計算量を大幅に減らすことができる。特に曲線側の積分区間が $0$ から $1$ までとなり、$t$ が含まれないため、非常に簡明である。

(2) は得られた面積関数 $S(t)$ を微分して増減表を書くだけの基本的な処理である。定義域 $0 < t < 1$ に注意して極値を判定すればよい。