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九州大学 2016年文系第1問解説

方針・初手

曲線 $C$ は $x^3$ の係数が $1$ であり、$x$ 軸と $x=0, \alpha, \beta$ で交わることから、方程式を $y = x(x-\alpha)(x-\beta)$ と表すことができる。 $0 < \alpha < \beta$ の大小関係に注意し、積分区間ごとの $y$ の符号を判定して面積 $S$ を定積分で立式する。後半は得られた $S$ を $\alpha$ の関数とみなし、微分して増減を調べる。

解法1

(1)

曲線 $C: y = x^3+ax^2+bx$ は $x$ 軸と $x=0, \alpha, \beta$ で交わるため、次のように因数分解された形で表すことができる。

$$ y = x(x-\alpha)(x-\beta) = x^3 - (\alpha+\beta)x^2 + \alpha\beta x $$

$0 < \alpha < \beta$ であるから、各区間における $y$ の符号は以下のようになる。

$0 \leqq x \leqq \alpha$ のとき、$y \geqq 0$
$\alpha \leqq x \leqq \beta$ のとき、$y \leqq 0$

したがって、曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた面積 $S$ は次のように立式できる。

$$ S = \int_{0}^{\alpha} y \,dx + \int_{\alpha}^{\beta} (-y) \,dx = \int_{0}^{\alpha} y \,dx - \int_{\alpha}^{\beta} y \,dx $$

ここで、関数 $f(x) = x^3 - (\alpha+\beta)x^2 + \alpha\beta x$ の不定積分の1つを $F(x)$ とする。

$$ F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{\alpha+\beta}{3}x^3 + \frac{\alpha\beta}{2}x^2 $$

定積分を $F(x)$ を用いて計算すると、面積 $S$ は次のように整理できる。

$$ \begin{aligned} S &= \bigl[ F(x) \bigr]_{0}^{\alpha} - \bigl[ F(x) \bigr]_{\alpha}^{\beta} \\ &= (F(\alpha) - F(0)) - (F(\beta) - F(\alpha)) \\ &= 2F(\alpha) - F(\beta) \end{aligned} $$

$F(\alpha)$ および $F(\beta)$ をそれぞれ計算する。

$$ \begin{aligned} F(\alpha) &= \frac{1}{4}\alpha^4 - \frac{\alpha+\beta}{3}\alpha^3 + \frac{\alpha\beta}{2}\alpha^2 \\ &= \frac{3\alpha^4 - 4\alpha^4 - 4\alpha^3\beta + 6\alpha^3\beta}{12} \\ &= \frac{-\alpha^4 + 2\alpha^3\beta}{12} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} F(\beta) &= \frac{1}{4}\beta^4 - \frac{\alpha+\beta}{3}\beta^3 + \frac{\alpha\beta}{2}\beta^2 \\ &= \frac{3\beta^4 - 4\alpha\beta^3 - 4\beta^4 + 6\alpha\beta^3}{12} \\ &= \frac{2\alpha\beta^3 - \beta^4}{12} \end{aligned} $$

これらを $S$ の式に代入し、整理する。

$$ \begin{aligned} S &= 2 \cdot \frac{-\alpha^4 + 2\alpha^3\beta}{12} - \frac{2\alpha\beta^3 - \beta^4}{12} \\ &= \frac{-2\alpha^4 + 4\alpha^3\beta - 2\alpha\beta^3 + \beta^4}{12} \end{aligned} $$

(2)

$\beta$ を固定し、$S$ を $\alpha$ の関数 $S(\alpha)$ とみなして $\alpha$ で微分する。

$$ S'(\alpha) = \frac{1}{12} \left( -8\alpha^3 + 12\alpha^2\beta - 2\beta^3 \right) = -\frac{1}{6} \left( 4\alpha^3 - 6\alpha^2\beta + \beta^3 \right) $$

$S'(\alpha) = 0$ となる $\alpha$ を探す。括弧内の式に $\alpha = \frac{\beta}{2}$ を代入すると $4 \left(\frac{\beta}{2}\right)^3 - 6\left(\frac{\beta}{2}\right)^2\beta + \beta^3 = \frac{1}{2}\beta^3 - \frac{3}{2}\beta^3 + \beta^3 = 0$ となるため、因数定理より $2\alpha - \beta$ を因数にもつ。

$$ S'(\alpha) = -\frac{1}{6} (2\alpha - \beta)(2\alpha^2 - 2\alpha\beta - \beta^2) $$

$2\alpha^2 - 2\alpha\beta - \beta^2 = 0$ の解は、解の公式より $\alpha = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}\beta$ である。ここで、$0 < \alpha < \beta$ の範囲における $S'(\alpha) = 0$ の実数解を確認する。$\sqrt{3} \approx 1.732$ より、 $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}\beta < 0$ であり、$\frac{1 + \sqrt{3}}{2}\beta > \beta$ となるため、どちらも範囲外である。したがって、$0 < \alpha < \beta$ において $S'(\alpha) = 0$ を満たすのは $\alpha = \frac{\beta}{2}$ のみである。

増減表は以下のようになる。

$\alpha$	$(0)$	$\cdots$	$\frac{\beta}{2}$	$\cdots$	$(\beta)$
$S'(\alpha)$		$-$	$0$	$+$
$S(\alpha)$		$\searrow$	極小	$\nearrow$

これより、$S$ を最小とする $\alpha$ の値は $\alpha = \frac{\beta}{2}$ である。

解説

3次関数と $x$ 軸で囲まれた面積の計算問題であり、不定積分 $F(x)$ を活用して $S = 2F(\alpha) - F(\beta)$ と整理することで計算ミスを大幅に減らすことができる。また、本問の結果である「$\alpha = \frac{\beta}{2}$ のときに面積が最小となる」という事実は、3次関数のグラフが変曲点に関して点対称であるという性質と深く関連している。変曲点が $x$ 軸上に位置し、3つの交点の間隔が等しくなるとき（つまり $\alpha$ が $0$ と $\beta$ の中点となるとき）に左右の面積が一致し、面積の和が最小となる。この直感的なイメージを持っておくと、結果の妥当性を素早く確認できる。