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九州大学 1977年文系第5問解説

方針・初手

(1) は、まず $f(x)$ を微分して増減を調べ、極大値と極小値をとる $x$ の値（$\alpha, \beta$）を求める。極大値の条件から定数 $a$ の値を決定し、極小値を計算する。
(2) は、(1) で求めた点 $A, B$ の座標から線分 $AB$ を表す直線の方程式を求める。その後、3次関数 $y=f(x)$ と直線の上下関係を調べ、定積分を用いて面積を計算する。

解法1

(1)

$f(x) = x^3 - 3x^2 + a$ を $x$ について微分すると、

$$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$$

$f'(x) = 0$ とすると、$x = 0, 2$ である。 $f'(x)$ の符号は $x<0, x>2$ で正、$0<x<2$ で負となるため、$f(x)$ は $x=0$ で極大値、$x=2$ で極小値をとる。

問題の条件より、$x=\alpha$ で極大値をとるので $\alpha=0$ である。このとき、極大値は $5$ であるから、

$$f(0) = a = 5$$

よって、$f(x) = x^3 - 3x^2 + 5$ である。極小値は $x=\beta=2$ のときにとるので、その値は、

$$f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 5 = 8 - 12 + 5 = 1$$

したがって、極小値は $1$ である。

(2)

(1) より、$\alpha=0, \beta=2$ であり、点 $A$、点 $B$ の座標はそれぞれ $A(0, 5)$、$B(2, 1)$ である。

線分 $AB$ を通る直線の方程式を求める。傾きは $\frac{1 - 5}{2 - 0} = -2$ であり、$y$ 切片は $5$ であるから、直線 $AB$ の方程式は

$$y = -2x + 5 \quad (0 \leqq x \leqq 2)$$

となる。これを $g(x) = -2x + 5$ とおく。

曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = g(x)$ の交点の $x$ 座標は、$f(x) = g(x)$ の解であるから、

$$x^3 - 3x^2 + 5 = -2x + 5$$

$$x^3 - 3x^2 + 2x = 0$$

$$x(x^2 - 3x + 2) = 0$$

$$x(x - 1)(x - 2) = 0$$

これを解いて、$x = 0, 1, 2$ を得る。したがって、区間 $0 \leqq x \leqq 2$ において、曲線と線分は $x=1$ で交わる。

それぞれの区間における $y = f(x)$ と $y = g(x)$ の上下関係を調べる。 $h(x) = f(x) - g(x) = x(x - 1)(x - 2)$ とおくと、

$0 \leqq x \leqq 1$ のとき、$h(x) \geqq 0$ より $f(x) \geqq g(x)$
$1 \leqq x \leqq 2$ のとき、$h(x) \leqq 0$ より $f(x) \leqq g(x)$

求める面積の和を $S$ とすると、

$$S = \int_0^1 (f(x) - g(x)) dx + \int_1^2 (g(x) - f(x)) dx$$

$$S = \int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2x) dx - \int_1^2 (x^3 - 3x^2 + 2x) dx$$

それぞれの定積分を計算する。

$$\int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2x) dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 \right]_0^1 = \frac{1}{4} - 1 + 1 = \frac{1}{4}$$

$$\int_1^2 (x^3 - 3x^2 + 2x) dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 \right]_1^2 = \left( \frac{16}{4} - 8 + 4 \right) - \left( \frac{1}{4} - 1 + 1 \right) = 0 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$$

これらを $S$ の式に代入して、

$$S = \frac{1}{4} - \left( -\frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$$

解説

極値をもつ3次関数の基本から、直線と曲線で囲まれた面積の計算へと繋がる標準的な問題である。

(2) の面積計算において、3次関数 $f(x)$ のグラフは変曲点に関して点対称であるという性質を利用すると、計算量を減らすことができる。 $f'(x) = 3x^2 - 6x$ をさらに微分すると $f''(x) = 6x - 6$ となり、$f''(x) = 0$ を満たす $x = 1$ の点 $(1, 3)$ が変曲点となる。極大点 $A(0, 5)$ と極小点 $B(2, 1)$ の中点はまさにこの変曲点 $(1, 3)$ であり、直線 $AB$ は変曲点を通る。変曲点に関する点対称性から、$0 \leqq x \leqq 1$ の領域と $1 \leqq x \leqq 2$ の領域の面積は等しくなることが図形的に分かる。したがって、$S = 2 \int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2x) dx$ として計算を進めることも可能であり、見通しが良くなる。